Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 3 x}{3 e^{2 x - 6} - x}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - 3 x}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 3 x}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

Étape 1.2.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 3 x}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

Étape 1.2.3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

Étape 1.2.4

Évaluez les limites en insérant $3$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{3^{2} - 3 lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

Étape 1.2.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{3^{2} - 3 \cdot 3}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

Étape 1.2.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.5.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{9 - 3 \cdot 3}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

Étape 1.2.5.1.2

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$\frac{9 - 9}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

Étape 1.2.5.2

Soustrayez $9$ de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - lim_{x \to 3} x}$

Étape 1.3.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 3} e^{2 x - 6} - lim_{x \to 3} x}$

Étape 1.3.3

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{0}{3 e^{lim_{x \to 3} 2 x - 6} - lim_{x \to 3} x}$

Étape 1.3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{0}{3 e^{lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6} - lim_{x \to 3} x}$

Étape 1.3.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{3 e^{2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6} - lim_{x \to 3} x}$

Étape 1.3.6

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{0}{3 e^{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6} - lim_{x \to 3} x}$

Étape 1.3.7

Évaluez les limites en insérant $3$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.3.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{0}{3 e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} - lim_{x \to 3} x}$

Étape 1.3.7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{0}{3 e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} - 3}$

Étape 1.3.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.8.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.8.1.1.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{0}{3 e^{6 - 1 \cdot 6} - 3}$

Étape 1.3.8.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{0}{3 e^{6 - 6} - 3}$

Étape 1.3.8.1.2

Soustrayez $6$ de $6$ .

$\frac{0}{3 e^{0} - 3}$

Étape 1.3.8.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{0}{3 \cdot 1 - 3}$

Étape 1.3.8.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Étape 1.3.8.2

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.8.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.9

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 3 x}{3 e^{2 x - 6} - x} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

Étape 3.4.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 e^{2 x - 6} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.6

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6}]$ .

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Étape 3.6.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 e^{2 x - 6}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [e^{2 x - 6}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 \frac{d}{d x} [e^{2 x - 6}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.6.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x - 6$ .

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Étape 3.6.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x - 6$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x - 6]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.6.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x - 6]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.6.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 6$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} \frac{d}{d x} [2 x - 6]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.6.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.6.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.6.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.6.6

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.6.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} (2 + 0)) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.6.8

Additionnez $2$ et $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.6.9

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x - 6}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (2 e^{2 x - 6}) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.6.10

Multipliez $2$ par $3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{6 e^{2 x - 6} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 3.7.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{6 e^{2 x - 6} - \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{6 e^{2 x - 6} - 1 \cdot 1}$

Étape 3.7.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{6 e^{2 x - 6} - 1}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} 2 x - 3}{lim_{x \to 3} 6 e^{2 x - 6} - 1}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} 6 e^{2 x - 6} - 1}$

Étape 6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} 6 e^{2 x - 6} - 1}$

Étape 7

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} 6 e^{2 x - 6} - 1}$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} 6 e^{2 x - 6} - lim_{x \to 3} 1}$

Étape 9

Placez le terme $6$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{6 lim_{x \to 3} e^{2 x - 6} - lim_{x \to 3} 1}$

Étape 10

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{6 e^{lim_{x \to 3} 2 x - 6} - lim_{x \to 3} 1}$

Étape 11

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{6 e^{lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6} - lim_{x \to 3} 1}$

Étape 12

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{6 e^{2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6} - lim_{x \to 3} 1}$

Étape 13

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{6 e^{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6} - lim_{x \to 3} 1}$

Étape 14

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{6 e^{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

Étape 15

Évaluez les limites en insérant $3$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 15.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{2 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{6 e^{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

Étape 15.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{2 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{6 e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

Étape 16

Simplifiez la réponse.

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Étape 16.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.1.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 - 1 \cdot 3}{6 e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

Étape 16.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{6 - 3}{6 e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

Étape 16.1.3

Soustrayez $3$ de $6$ .

$\frac{3}{6 e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

Étape 16.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 16.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.2.1.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{3}{6 e^{6 - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

Étape 16.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{3}{6 e^{6 - 6} - 1 \cdot 1}$

Étape 16.2.2

Soustrayez $6$ de $6$ .

$\frac{3}{6 e^{0} - 1 \cdot 1}$

Étape 16.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{3}{6 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Étape 16.2.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{3}{6 - 1 \cdot 1}$

Étape 16.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{3}{6 - 1}$

Étape 16.2.6

Soustrayez $1$ de $6$ .

$\frac{3}{5}$