Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{2 x + \cot (x)}{5 + e^{x}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 2 x + \cot (x)$ et $g (x) = 5 + e^{x}$ .

$\frac{(5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [2 x + \cot (x)] - (2 x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [5 + e^{x}]}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + \cot (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$\frac{(5 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]) - (2 x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [5 + e^{x}]}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(5 + e^{x}) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]) - (2 x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [5 + e^{x}]}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(5 + e^{x}) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cot (x)]) - (2 x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [5 + e^{x}]}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{(5 + e^{x}) (2 + \frac{d}{d x} [\cot (x)]) - (2 x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [5 + e^{x}]}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Étape 3

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{(5 + e^{x}) (2 - \csc^{2} (x)) - (2 x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [5 + e^{x}]}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 + e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(5 + e^{x}) (2 - \csc^{2} (x)) - (2 x + \cot (x)) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Étape 4.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(5 + e^{x}) (2 - \csc^{2} (x)) - (2 x + \cot (x)) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Étape 4.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(5 + e^{x}) (2 - \csc^{2} (x)) - (2 x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{(5 + e^{x}) (2 - \csc^{2} (x)) - (2 x + \cot (x)) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(5 + e^{x}) (2 - \csc^{2} (x)) + (- (2 x) - \cot (x)) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(5 + e^{x}) (2 - \csc^{2} (x)) - (2 x) e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

Développez $(5 + e^{x}) (2 - \csc^{2} (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 (2 - \csc^{2} (x)) + e^{x} (2 - \csc^{2} (x)) - (2 x) e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.3.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 \cdot 2 + 5 (- \csc^{2} (x)) + e^{x} (2 - \csc^{2} (x)) - (2 x) e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 \cdot 2 + 5 (- \csc^{2} (x)) + e^{x} \cdot 2 + e^{x} (- \csc^{2} (x)) - (2 x) e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.2.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{10 + 5 (- \csc^{2} (x)) + e^{x} \cdot 2 + e^{x} (- \csc^{2} (x)) - (2 x) e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.3.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{10 - 5 \csc^{2} (x) + e^{x} \cdot 2 + e^{x} (- \csc^{2} (x)) - (2 x) e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.3.1.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $e^{x}$ .

$\frac{10 - 5 \csc^{2} (x) + 2 \cdot e^{x} + e^{x} (- \csc^{2} (x)) - (2 x) e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.3.1.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{10 - 5 \csc^{2} (x) + 2 e^{x} - e^{x} \csc^{2} (x) - (2 x) e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.3.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{10 - 5 \csc^{2} (x) + 2 e^{x} - e^{x} \csc^{2} (x) - 2 x e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $10 - 5 \csc^{2} (x) + 2 e^{x} - e^{x} \csc^{2} (x) - 2 x e^{x} - \cot (x) e^{x}$ .

$\frac{10 - 5 \csc^{2} (x) + 2 e^{x} - e^{x} \csc^{2} (x) - 2 x e^{x} - e^{x} \cot (x)}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- e^{x} \csc^{2} (x) - 2 e^{x} x - e^{x} \cot (x) + 2 e^{x} + 10 - 5 \csc^{2} (x)}{{(5 + e^{x})}^{2}}$