Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} d x$

Étape 1

Laissez $u = 1 - \cos (x)$ . Alors $d u = \sin (x) d x$ , donc $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 - \cos (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 - \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

Étape 1.1.3.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$0 + \sin (x)$

Étape 1.1.4

Additionnez $0$ et $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 1 - \cos (x)$ .

$u_{lower} = 1 - \cos (0)$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$u_{lower} = 1 - 1 \cdot 1$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$u_{lower} = 1 - 1$

Étape 1.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 1 - \cos (x)$ .

$u_{upper} = 1 - \cos (\frac{π}{2})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$u_{upper} = 1 - 0$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$u_{upper} = 1 + 0$

Étape 1.5.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$u_{upper} = 1$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{u} d u$

Étape 2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{0}^{1}$

Étape 3

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $1$ et sur $0$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| 0 |)$

Étape 4

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{| 0 |})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0$ est $0$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{0})$

Étape 5.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\ln (\frac{| 1 |}{0})$

Étape 6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini