Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{4 x + 7}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x}{x} + \frac{1}{x})}^{4 x + 7}$

Étape 1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x + 1}{x})}^{4 x + 7}$

Étape 2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 2.1

Réécrivez ${(\frac{x + 1}{x})}^{4 x + 7}$ comme $e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{4 x + 7})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{4 x + 7})}$

Étape 2.2

Développez $\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{4 x + 7})$ en déplaçant $4 x + 7$ hors du logarithme.

$lim_{x \to \infty} e^{(4 x + 7) \ln (\frac{x + 1}{x})}$

Étape 3

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to \infty} (4 x + 7) \ln (\frac{x + 1}{x})}$

Étape 4

Réécrivez $(4 x + 7) \ln (\frac{x + 1}{x})$ comme $\frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{4 x + 7}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{4 x + 7}}}$

Étape 5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{x + 1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

Étape 5.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 5.1.2.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

Étape 5.1.2.2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

Étape 5.1.2.3

Évaluez la limite.

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Étape 5.1.2.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.1.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

Étape 5.1.2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

Étape 5.1.2.3.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

Étape 5.1.2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

Étape 5.1.2.3.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

Étape 5.1.2.3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

Étape 5.1.2.3.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

Étape 5.1.2.4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

Étape 5.1.2.5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1.2.5.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

Étape 5.1.2.5.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1.2.5.2.1

Divisez $1 + 0$ par $1$ .

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

Étape 5.1.2.5.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

Étape 5.1.2.5.2.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

Étape 5.1.3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{4 x + 7}$ approche de $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Étape 5.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{\frac{0}{0}}$

Étape 5.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{4 x + 7}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}$

Étape 5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

Étape 5.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{x + 1}{x}$ .

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Étape 5.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x + 1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

Étape 5.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

Étape 5.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x + 1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{x + 1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

Étape 5.3.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{x + 1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

Étape 5.3.4

Multipliez $\frac{x}{x + 1}$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

Étape 5.3.5

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + 1$ et $g (x) = x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

Étape 5.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

Étape 5.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

Étape 5.3.8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

Étape 5.3.9

Additionnez $1$ et $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

Étape 5.3.10

Multipliez $x$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

Étape 5.3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1) \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

Étape 5.3.12

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1)}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

Étape 5.3.13

Multipliez $\frac{x}{x + 1}$ par $\frac{x - (x + 1)}{x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{(x + 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

Étape 5.3.14

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.14.1

Factorisez $x$ à partir de $(x + 1) x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{x (x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

Étape 5.3.14.2

Annulez le facteur commun.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{x (x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

Étape 5.3.14.3

Réécrivez l’expression.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - (x + 1)}{(x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

Étape 5.3.15

Simplifiez

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Étape 5.3.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

Étape 5.3.15.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - x - 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

Étape 5.3.15.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.15.3.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{0 - 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

Étape 5.3.15.3.2

Soustrayez $1 \cdot 1$ de $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

Étape 5.3.15.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

Étape 5.3.15.4

Associez des termes.

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Étape 5.3.15.4.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{1} x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

Étape 5.3.15.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{1} x^{1} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

Étape 5.3.15.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{1 + 1} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

Étape 5.3.15.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{2} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

Étape 5.3.15.4.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{2} + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

Étape 5.3.15.4.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2} + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

Étape 5.3.15.5

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + x$ .

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Étape 5.3.15.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

Étape 5.3.15.5.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x^{1}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

Étape 5.3.15.5.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x \cdot 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

Étape 5.3.15.5.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

Étape 5.3.16

Réécrivez $\frac{1}{4 x + 7}$ comme ${(4 x + 7)}^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{\frac{d}{d x} [{(4 x + 7)}^{- 1}]}}$

Étape 5.3.17

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = 4 x + 7$ .

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Étape 5.3.17.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x + 7$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [4 x + 7]}}$

Étape 5.3.17.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x + 7]}}$

Étape 5.3.17.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x + 7$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- {(4 x + 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x + 7]}}$

Étape 5.3.18

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- {(4 x + 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7])}}$

Étape 5.3.19

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- {(4 x + 7)}^{- 2} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])}}$

Étape 5.3.20

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- {(4 x + 7)}^{- 2} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])}}$

Étape 5.3.21

Multipliez $4$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- {(4 x + 7)}^{- 2} (4 + \frac{d}{d x} [7])}}$

Étape 5.3.22

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- {(4 x + 7)}^{- 2} (4 + 0)}}$

Étape 5.3.23

Additionnez $4$ et $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- {(4 x + 7)}^{- 2} \cdot 4}}$

Étape 5.3.24

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- 4 {(4 x + 7)}^{- 2}}}$

Étape 5.3.25

Simplifiez

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Étape 5.3.25.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- 4 \frac{1}{{(4 x + 7)}^{2}}}}$

Étape 5.3.25.2

Associez des termes.

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Étape 5.3.25.2.1

Associez $- 4$ et $\frac{1}{{(4 x + 7)}^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{\frac{- 4}{{(4 x + 7)}^{2}}}}$

Étape 5.3.25.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- \frac{4}{{(4 x + 7)}^{2}}}}$

Étape 5.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x (x + 1)} \cdot - 1 \frac{{(4 x + 7)}^{2}}{4}}$

Étape 5.5

Combinez les facteurs.

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Étape 5.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} 1 \frac{1}{x (x + 1)} \frac{{(4 x + 7)}^{2}}{4}}$

Étape 5.5.2

Multipliez $\frac{1}{x (x + 1)}$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (x + 1)} \cdot \frac{{(4 x + 7)}^{2}}{4}}$

Étape 5.5.3

Multipliez $\frac{1}{x (x + 1)}$ par $\frac{{(4 x + 7)}^{2}}{4}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{{(4 x + 7)}^{2}}{x (x + 1) \cdot 4}}$

Étape 5.6

Déplacez $4$ à gauche de $x (x + 1)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{{(4 x + 7)}^{2}}{4 x (x + 1)}}$

Étape 6

Placez le terme $\frac{1}{4}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$e^{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{{(4 x + 7)}^{2}}{x (x + 1)}}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{{(4 x + 7)}^{2}}{x \cdot x + x \cdot 1}}$

Étape 7.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$e^{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{{(4 x + 7)}^{2}}{x^{2} + x \cdot 1}}$

Étape 7.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$e^{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{{(4 x + 7)}^{2}}{x^{2} + x}}$

Étape 8

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur.

$e^{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{4 x}{x} + \frac{7}{x})}^{2}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}}}}$

Étape 9

Évaluez la limite.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

$e^{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{4 x}{x} + \frac{7}{x})}^{2}}{1 + \frac{1}{x}}}$

Étape 9.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} + \frac{7}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

Étape 9.3

Déplacez l’exposant $2$ de ${(\frac{4 x}{x} + \frac{7}{x})}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x} + \frac{7}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

Étape 9.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

Étape 9.5

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

Étape 9.6

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 9.6.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

Étape 9.6.2

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

Étape 9.7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

Étape 9.8

Placez le terme $7$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 \cdot 1 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

Étape 10

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 \cdot 1 + 7 \cdot 0)}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

Étape 11

Évaluez la limite.

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Étape 11.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 \cdot 1 + 7 \cdot 0)}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 11.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 \cdot 1 + 7 \cdot 0)}^{2}}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 12

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 \cdot 1 + 7 \cdot 0)}^{2}}{1 + 0}}$

Étape 13

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 + 7 \cdot 0)}^{2}}{1 + 0}}$

Étape 13.1.2

Multipliez $7$ par $0$ .

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 + 0)}^{2}}{1 + 0}}$

Étape 13.1.3

Additionnez $4$ et $0$ .

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{4^{2}}{1 + 0}}$

Étape 13.1.4

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{16}{1 + 0}}$

Étape 13.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{16}{1}}$

Étape 13.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 13.3.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{4 (4)}{1}}$

Étape 13.3.2

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot 4}{1}}$

Étape 13.3.3

Réécrivez l’expression.

$e^{4}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$e^{4}$

Forme décimale :

$54.59815003 \dots$