Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\sqrt{x} - x^{- 3}}{x^{2}} d x$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{\sqrt{x} - \frac{1}{x^{3}}}{x^{2}} d x$

Étape 1.1.2

Pour écrire $\sqrt{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$\int \frac{\frac{\sqrt{x} x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}{x^{2}} d x$

Étape 1.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int \frac{\frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3}}}{x^{2}} d x$

Étape 1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\int \frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 1.3

Multipliez $\frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}}$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3}}$ par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\int \frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3} x^{2}} d x$

Étape 1.3.2

Multipliez $x^{3}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3 + 2}} d x$

Étape 1.3.2.2

Additionnez $3$ et $2$ .

$\int \frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{5}} d x$

Étape 2

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{3} - 1}{x^{5}} d x$

Étape 2.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{x^{\frac{1}{2} + 3} - 1}{x^{5}} d x$

Étape 2.2.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

Étape 2.2.3

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

Étape 2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int \frac{x^{\frac{1 + 3 \cdot 2}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.5.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\int \frac{x^{\frac{1 + 6}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

Étape 2.2.5.2

Additionnez $1$ et $6$ .

$\int \frac{x^{\frac{7}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

Étape 3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.1

Retirez $x^{5}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (x^{\frac{7}{2}} - 1) {(x^{5})}^{- 1} d x$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{\frac{7}{2}} - 1) x^{5 \cdot - 1} d x$

Étape 3.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\int (x^{\frac{7}{2}} - 1) x^{- 5} d x$

Étape 4

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{\frac{7}{2}} x^{- 5} - 1 x^{- 5} d x$

Étape 4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{\frac{7}{2} - 5} - 1 x^{- 5} d x$

Étape 4.3

Pour écrire $- 5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{7}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

Étape 4.4

Associez $- 5$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{7}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int x^{\frac{7 - 5 \cdot 2}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$\int x^{\frac{7 - 10}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

Étape 4.6.2

Soustrayez $10$ de $7$ .

$\int x^{\frac{- 3}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

Étape 4.7

Remettez dans l’ordre $x^{\frac{- 3}{2}}$ et $- 1 x^{- 5}$ .

$\int - 1 x^{- 5} + x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Étape 5

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Étape 5.1

Réécrivez $- 1 x^{- 5}$ comme $- x^{- 5}$ .

$\int - x^{- 5} + x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Étape 5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int - x^{- 5} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - x^{- 5} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int x^{- 5} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$- (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C) + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Étape 9

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Étape 9.1

Associez $x^{- 4}$ et $\frac{1}{4}$ .

$- (- \frac{x^{- 4}}{4} + C) + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Étape 9.2

Placez $x^{- 4}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Étape 11

Simplifiez

$\frac{1}{4 x^{4}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$