Calcul infinitésimal Exemples

$a e^{- a x}$

Étape 1

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a e^{- a x}$ par rapport à $x$ est $a \frac{d}{d x} [e^{- a x}]$ .

$a \frac{d}{d x} [e^{- a x}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - a x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- a x$ .

$a (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- a x])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$a (e^{u} \frac{d}{d x} [- a x])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- a x$ .

$a (e^{- a x} \frac{d}{d x} [- a x])$

Étape 3

Comme $- a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- a x$ par rapport à $x$ est $- a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a (e^{- a x} (- a \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 4

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$a^{1} a (e^{- a x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 5

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$a^{1} a^{1} (e^{- a x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a^{1 + 1} (e^{- a x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 7

Additionnez $1$ et $1$ .

$a^{2} (e^{- a x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$a^{2} (e^{- a x} (- 1 \cdot 1))$

Étape 9

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$a^{2} (e^{- a x} \cdot - 1)$

Étape 9.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- a x}$ .

$a^{2} (- 1 \cdot e^{- a x})$

Étape 9.3

Réécrivez $- 1 e^{- a x}$ comme $- e^{- a x}$ .

$a^{2} (- e^{- a x})$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Réorganisez les facteurs de $a^{2} (- e^{- a x})$ .

$- e^{- a x} a^{2}$

Étape 10.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- e^{- a x} a^{2}$ .

$- a^{2} e^{- a x}$