Calcul infinitésimal Exemples

$- 2 y - y^{2} - x^{2} = 0$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (- 2 y - y^{2} - x^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 y - y^{2} - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 y$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- 2 y' + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 2 y' - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$- 2 y' - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 y' - (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$- 2 y' - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- 2 y' - (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.3.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 y' - 2 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 y' - 2 y y' - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 y' - 2 y y' - (2 x)$

Étape 2.4.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 y' - 2 y y' - 2 x$

Étape 2.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 y y' - 2 x - 2 y'$

Étape 3

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- 2 y y' - 2 x - 2 y' = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Ajoutez $2 x$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 y y' - 2 y' = 2 x$

Étape 5.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $- 2 y y' - 2 y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2 y'$ à partir de $- 2 y y'$ .

$2 y' (- y) - 2 y' = 2 x$

Étape 5.2.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $- 2 y'$ .

$2 y' (- y) + 2 y' \cdot - 1 = 2 x$

Étape 5.2.3

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y' (- y) + 2 y' \cdot - 1$ .

$2 y' (- y - 1) = 2 x$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $2 y' (- y - 1) = 2 x$ par $2 (- y - 1)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $2 y' (- y - 1) = 2 x$ par $2 (- y - 1)$ .

$\frac{2 y' (- y - 1)}{2 (- y - 1)} = \frac{2 x}{2 (- y - 1)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y' (- y - 1)}{2 (- y - 1)} = \frac{2 x}{2 (- y - 1)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (- y - 1)}{- y - 1} = \frac{2 x}{2 (- y - 1)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $- y - 1$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- y - 1)}{- y - 1} = \frac{2 x}{2 (- y - 1)}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2 x}{2 (- y - 1)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 x}{2 (- y - 1)}$

Étape 5.3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{x}{- y - 1}$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$y' = \frac{x}{- (y) - 1}$

Étape 5.3.3.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{x}{- (y) - 1 (1)}$

Étape 5.3.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{x}{- (y + 1)}$

Étape 5.3.3.5

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 5.3.3.5.1

Réécrivez $- (y + 1)$ comme $- 1 (y + 1)$ .

$y' = \frac{x}{- 1 (y + 1)}$

Étape 5.3.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x}{y + 1}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y + 1}$