Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - x^{4} + 3 x^{2} + 2 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{4} + 3 x^{2} + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$- 4 x^{3} + 6 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{3} + 6 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 x^{3} + 6 x + 2 \cdot 1$

Étape 1.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 4 x^{3} + 6 x + 2$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 x^{3} + 6 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.3.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 6 + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 6 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $- 12 x^{2} + 6$ et $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 6$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 4 x^{3} + 6 x + 2 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{4} + 3 x^{2} + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$- 4 x^{3} + 6 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 4.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 4.1.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{3} + 6 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 x^{3} + 6 x + 2 \cdot 1$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 6 x + 2$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 4 x^{3} + 6 x + 2$ .

$- 4 x^{3} + 6 x + 2$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 4 x^{3} + 6 x + 2 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 4 x^{3} + 6 x + 2 = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 4 x^{3} + 6 x + 2$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$- 2 (2 x^{3}) + 6 x + 2 = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $- 2$ à partir de $6 x$ .

$- 2 (2 x^{3}) - 2 (- 3 x) + 2 = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $- 2$ à partir de $2$ .

$- 2 (2 x^{3}) - 2 (- 3 x) - 2 \cdot - 1 = 0$

Étape 5.2.1.4

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (2 x^{3}) - 2 (- 3 x)$ .

$- 2 (2 x^{3} - 3 x) - 2 \cdot - 1 = 0$

Étape 5.2.1.5

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (2 x^{3} - 3 x) - 2 (- 1)$ .

$- 2 (2 x^{3} - 3 x - 1) = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $2 x^{3} - 3 x - 1$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 5.2.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 5.2.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5$

Étape 5.2.2.1.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 5.2.2.1.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

$2 {(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1 - 1$

Étape 5.2.2.1.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 - 1$

Étape 5.2.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 - 3 \cdot - 1 - 1$

Étape 5.2.2.1.3.4

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$- 2 + 3 - 1$

Étape 5.2.2.1.3.5

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$1 - 1$

Étape 5.2.2.1.3.6

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0$

Étape 5.2.2.1.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} - 3 x - 1}{x + 1}$

Étape 5.2.2.1.5

Divisez $2 x^{3} - 3 x - 1$ par $x + 1$ .

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Étape 5.2.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$1$

Étape 5.2.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$

Étape 5.2.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 5.2.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} + 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 5.2.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Étape 5.2.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$

Étape 5.2.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$

Étape 5.2.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Étape 5.2.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x^{2} - 2 x$

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Étape 5.2.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$

Étape 5.2.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	-	$1$

Étape 5.2.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	-	$1$

Étape 5.2.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	-	$1$
							-	$x$	-	$1$

Étape 5.2.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x - 1$

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	-	$1$
							+	$x$	+	$1$

Étape 5.2.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	-	$1$
							+	$x$	+	$1$
										$0$

Étape 5.2.2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$2 x^{2} - 2 x - 1$

Étape 5.2.2.1.6

Écrivez $2 x^{3} - 3 x - 1$ comme un ensemble de facteurs.

$- 2 ((x + 1) (2 x^{2} - 2 x - 1)) = 0$

Étape 5.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 2 (x + 1) (2 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 5.4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 5.5

Définissez $2 x^{2} - 2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $2 x^{2} - 2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $2 x^{2} - 2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = - 2$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.3

Simplifiez

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Étape 5.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.2.3.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Étape 5.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.3.1.3

Additionnez $4$ et $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.3.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 5.5.2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Étape 5.5.2.3.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.5.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 5.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.2.4.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Étape 5.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.4.1.3

Additionnez $4$ et $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.4.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 5.5.2.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Étape 5.5.2.4.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.5.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.2.5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Étape 5.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.5.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.5.1.3

Additionnez $4$ et $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.5.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 5.5.2.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Étape 5.5.2.5.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.5.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.5.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 2 (x + 1) (2 x^{2} - 2 x - 1) = 0$ vraie.

$x = - 1, \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - 1, \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 12 {(- 1)}^{2} + 6$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 12 \cdot 1 + 6$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$- 12 + 6$

Étape 9.2

Additionnez $- 12$ et $6$ .

$- 6$

Étape 10

$x = - 1$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 1$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - 1$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = - {(- 1)}^{4} + 3 {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.2.1.1.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{4}$ .

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Étape 11.2.1.1.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{4} + 3 {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

Étape 11.2.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- 1) = {(- 1)}^{1 + 4} + 3 {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

Étape 11.2.1.1.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{5} + 3 {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

Étape 11.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$f (- 1) = - 1 + 3 {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

Étape 11.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- 1) = - 1 + 3 \cdot 1 + 2 (- 1)$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (- 1) = - 1 + 3 + 2 (- 1)$

Étape 11.2.1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 + 3 - 2$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 11.2.2.1

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$f (- 1) = 2 - 2$

Étape 11.2.2.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f (- 1) = 0$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 12 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 6$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

$- 12 \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}} + 6$

Étape 13.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 12 \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{4} + 6$

Étape 13.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 13.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12$ .

$4 (- 3) \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{4} + 6$

Étape 13.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot - 3 \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{4} + 6$

Étape 13.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$- 3 {(1 + \sqrt{3})}^{2} + 6$

Étape 13.1.4

Réécrivez ${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ comme $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ .

$- 3 ((1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})) + 6$

Étape 13.1.5

Développez $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 13.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 (1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})) + 6$

Étape 13.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})) + 6$

Étape 13.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 6$

Étape 13.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 13.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.6.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$- 3 (1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 6$

Étape 13.1.6.1.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$- 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 6$

Étape 13.1.6.1.3

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$- 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 6$

Étape 13.1.6.1.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}) + 6$

Étape 13.1.6.1.5

Multipliez $3$ par $3$ .

$- 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}) + 6$

Étape 13.1.6.1.6

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$- 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}) + 6$

Étape 13.1.6.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3) + 6$

Étape 13.1.6.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$- 3 (4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}) + 6$

Étape 13.1.6.3

Additionnez $\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$ .

$- 3 (4 + 2 \sqrt{3}) + 6$

Étape 13.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 \cdot 4 - 3 (2 \sqrt{3}) + 6$

Étape 13.1.8

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$- 12 - 3 (2 \sqrt{3}) + 6$

Étape 13.1.9

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$- 12 - 6 \sqrt{3} + 6$

Étape 13.2

Additionnez $- 12$ et $6$ .

$- 6 - 6 \sqrt{3}$

Étape 14

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{4} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{4}}{2^{4}} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.3

Utilisez le théorème du binôme.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1^{4} + 4 \cdot (1^{3} \sqrt{3}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.4.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \cdot (1^{3} \sqrt{3}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \cdot (1 \sqrt{3}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.4.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.4.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.4.5

Multipliez $6$ par $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 {\sqrt{3}}^{2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.4.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 15.2.1.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.4.7

Multipliez $6$ par $3$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.4.8

Multipliez $4$ par $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 {\sqrt{3}}^{3} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.4.9

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \sqrt{3^{3}} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.4.10

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \sqrt{27} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.4.11

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 15.2.1.4.11.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \sqrt{9 (3)} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.4.11.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \sqrt{3^{2} \cdot 3} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.4.12

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (3 \sqrt{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.4.13

Multipliez $3$ par $4$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.4.14

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{4}$ comme $3^{2}$ .

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Étape 15.2.1.4.14.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.4.14.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.4.14.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{4}{2}}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.4.14.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 15.2.1.4.14.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.4.14.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.1.4.14.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.4.14.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.4.14.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{1}}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.4.14.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{2}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.4.15

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 9}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.5

Additionnez $1$ et $18$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{19 + 4 \sqrt{3} + 12 \sqrt{3} + 9}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.6

Additionnez $19$ et $9$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{28 + 4 \sqrt{3} + 12 \sqrt{3}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.7

Additionnez $4 \sqrt{3}$ et $12 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{28 + 16 \sqrt{3}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.8

Annulez le facteur commun à $28 + 16 \sqrt{3}$ et $16$ .

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Étape 15.2.1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7) + 16 \sqrt{3}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.8.2

Factorisez $4$ à partir de $16 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7) + 4 (4 \sqrt{3})}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.8.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (7) + 4 (4 \sqrt{3})$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7 + 4 \sqrt{3})}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.8.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.1.8.4.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7 + 4 \sqrt{3})}{4 \cdot 4} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.8.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7 + 4 \sqrt{3})}{4 \cdot 4} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.8.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.9

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.11

Réécrivez ${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ comme $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.12

Développez $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 15.2.1.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.13

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 15.2.1.13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.13.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.13.1.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.13.1.3

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.13.1.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.13.1.5

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.13.1.6

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.13.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.13.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.13.3

Additionnez $\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.14

Annulez le facteur commun à $4 + 2 \sqrt{3}$ et $4$ .

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Étape 15.2.1.14.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.14.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.14.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.14.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.1.14.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3})}{2 (2)}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.14.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3})}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.14.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 + \sqrt{3}}{2}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.15

Associez $3$ et $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.16

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1.16.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.16.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2} + 1 + \sqrt{3}$

Étape 15.2.2

Pour écrire $\frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2} \cdot \frac{2}{2} + 1 + \sqrt{3}$

Étape 15.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 15.2.3.1

Multipliez $\frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 + \sqrt{3}) \cdot 2}{2 \cdot 2} + 1 + \sqrt{3}$

Étape 15.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 + \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Étape 15.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- (7 + 4 \sqrt{3}) + 3 (2 + \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Étape 15.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 1 \cdot 7 - (4 \sqrt{3}) + 3 (2 + \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Étape 15.2.5.2

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 - (4 \sqrt{3}) + 3 (2 + \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Étape 15.2.5.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 - 4 \sqrt{3} + 3 (2 + \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Étape 15.2.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 - 4 \sqrt{3} + (3 \cdot 2 + 3 \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Étape 15.2.5.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 - 4 \sqrt{3} + (6 + 3 \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Étape 15.2.5.6

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 2 + 3 \sqrt{3} \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Étape 15.2.5.7

Multipliez $6$ par $2$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 - 4 \sqrt{3} + 12 + 3 \sqrt{3} \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Étape 15.2.5.8

Multipliez $2$ par $3$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 - 4 \sqrt{3} + 12 + 6 \sqrt{3}}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Étape 15.2.5.9

Additionnez $- 7$ et $12$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{5 - 4 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Étape 15.2.5.10

Additionnez $- 4 \sqrt{3}$ et $6 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{5 + 2 \sqrt{3}}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Étape 15.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 15.2.6.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{5 + 2 \sqrt{3}}{4} + \frac{4}{4} + \sqrt{3}$

Étape 15.2.6.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{5 + 2 \sqrt{3} + 4}{4} + \sqrt{3}$

Étape 15.2.6.3

Additionnez $5$ et $4$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 + 2 \sqrt{3}}{4} + \sqrt{3}$

Étape 15.2.7

Pour écrire $\sqrt{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 + 2 \sqrt{3}}{4} + \sqrt{3} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 15.2.8

Associez les fractions.

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Étape 15.2.8.1

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 + 2 \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3} \cdot 4}{4}$

Étape 15.2.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 4}{4}$

Étape 15.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.9.1

Déplacez $4$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 + 2 \sqrt{3} + 4 \cdot \sqrt{3}}{4}$

Étape 15.2.9.2

Additionnez $2 \sqrt{3}$ et $4 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 + 6 \sqrt{3}}{4}$

Étape 15.2.10

La réponse finale est $\frac{9 + 6 \sqrt{3}}{4}$ .

$y = \frac{9 + 6 \sqrt{3}}{4}$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 12 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 6$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ .

$- 12 \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}} + 6$

Étape 17.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 12 \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{4} + 6$

Étape 17.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 17.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12$ .

$4 (- 3) \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{4} + 6$

Étape 17.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot - 3 \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{4} + 6$

Étape 17.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$- 3 {(1 - \sqrt{3})}^{2} + 6$

Étape 17.1.4

Réécrivez ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ comme $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ .

$- 3 ((1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})) + 6$

Étape 17.1.5

Développez $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 17.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 (1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})) + 6$

Étape 17.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})) + 6$

Étape 17.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 6$

Étape 17.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 17.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.6.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$- 3 (1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 6$

Étape 17.1.6.1.2

Multipliez $- \sqrt{3}$ par $1$ .

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 6$

Étape 17.1.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 6$

Étape 17.1.6.1.4

Multipliez $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Étape 17.1.6.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}) + 6$

Étape 17.1.6.1.4.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 6$

Étape 17.1.6.1.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 6$

Étape 17.1.6.1.4.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 6$

Étape 17.1.6.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}) + 6$

Étape 17.1.6.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}) + 6$

Étape 17.1.6.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 17.1.6.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 6$

Étape 17.1.6.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 6$

Étape 17.1.6.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) + 6$

Étape 17.1.6.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 17.1.6.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) + 6$

Étape 17.1.6.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{1}) + 6$

Étape 17.1.6.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3) + 6$

Étape 17.1.6.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$- 3 (4 - \sqrt{3} - \sqrt{3}) + 6$

Étape 17.1.6.3

Soustrayez $\sqrt{3}$ de $- \sqrt{3}$ .

$- 3 (4 - 2 \sqrt{3}) + 6$

Étape 17.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 \cdot 4 - 3 (- 2 \sqrt{3}) + 6$

Étape 17.1.8

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$- 12 - 3 (- 2 \sqrt{3}) + 6$

Étape 17.1.9

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$- 12 + 6 \sqrt{3} + 6$

Étape 17.2

Additionnez $- 12$ et $6$ .

$- 6 + 6 \sqrt{3}$

Étape 18

$x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ est un minimum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{4} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{4}}{2^{4}} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.3

Utilisez le théorème du binôme.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1^{4} + 4 \cdot (1^{3} (- \sqrt{3})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.4.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \cdot (1^{3} (- \sqrt{3})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \cdot (1 (- \sqrt{3})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.4.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 (- \sqrt{3}) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.4.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.4.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.4.6

Multipliez $6$ par $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.4.7

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.4.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 (1 {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.4.9

Multipliez ${\sqrt{3}}^{2}$ par $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 {\sqrt{3}}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.4.10

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 19.2.1.4.10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.4.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.4.10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.4.10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.2.1.4.10.4.1

Annulez le facteur commun.

Étape 19.2.1.4.10.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.4.10.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.4.11

Multipliez $6$ par $3$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.4.12

Multipliez $4$ par $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.4.13

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.4.14

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- {\sqrt{3}}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.4.15

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- \sqrt{3^{3}}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.4.16

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- \sqrt{27}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.4.17

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 19.2.1.4.17.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- \sqrt{9 (3)}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.4.17.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- \sqrt{3^{2} \cdot 3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.4.18

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- (3 \sqrt{3})) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.4.19

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- 3 \sqrt{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.4.20

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.4.21

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + {(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.4.22

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 1 {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.4.23

Multipliez ${\sqrt{3}}^{4}$ par $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.4.24

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{4}$ comme $3^{2}$ .

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Étape 19.2.1.4.24.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.4.24.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.4.24.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{4}{2}}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.4.24.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 19.2.1.4.24.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.4.24.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 19.2.1.4.24.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.4.24.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.4.24.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{1}}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.4.24.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{2}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.4.25

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 9}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.5

Additionnez $1$ et $18$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{19 - 4 \sqrt{3} - 12 \sqrt{3} + 9}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.6

Additionnez $19$ et $9$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{28 - 4 \sqrt{3} - 12 \sqrt{3}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.7

Soustrayez $12 \sqrt{3}$ de $- 4 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{28 - 16 \sqrt{3}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.8

Annulez le facteur commun à $28 - 16 \sqrt{3}$ et $16$ .

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Étape 19.2.1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7) - 16 \sqrt{3}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.8.2

Factorisez $4$ à partir de $- 16 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7) + 4 (- 4 \sqrt{3})}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.8.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (7) + 4 (- 4 \sqrt{3})$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7 - 4 \sqrt{3})}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.8.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 19.2.1.8.4.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7 - 4 \sqrt{3})}{4 \cdot 4} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.8.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7 - 4 \sqrt{3})}{4 \cdot 4} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.8.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.9

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.11

Réécrivez ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ comme $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.12

Développez $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 19.2.1.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.13

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 19.2.1.13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.13.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.13.1.2

Multipliez $- \sqrt{3}$ par $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.13.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.13.1.4

Multipliez $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Étape 19.2.1.13.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.13.1.4.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.13.1.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.13.1.4.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.13.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.13.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.13.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 19.2.1.13.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.13.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.13.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.13.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.2.1.13.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.13.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.13.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.13.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{4 - \sqrt{3} - \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.13.3

Soustrayez $\sqrt{3}$ de $- \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{4 - 2 \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.14

Annulez le facteur commun à $4 - 2 \sqrt{3}$ et $4$ .

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Étape 19.2.1.14.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 (2) - 2 \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.14.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 (2) + 2 (- \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.14.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2) + 2 (- \sqrt{3})$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.14.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 19.2.1.14.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.14.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.14.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 - \sqrt{3}}{2}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.15

Associez $3$ et $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.16

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.2.1.16.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.16.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2} + 1 - \sqrt{3}$

Étape 19.2.2

Pour écrire $\frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2} \cdot \frac{2}{2} + 1 - \sqrt{3}$

Étape 19.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 19.2.3.1

Multipliez $\frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 - \sqrt{3}) \cdot 2}{2 \cdot 2} + 1 - \sqrt{3}$

Étape 19.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 - \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Étape 19.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- (7 - 4 \sqrt{3}) + 3 (2 - \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Étape 19.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 19.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 1 \cdot 7 - (- 4 \sqrt{3}) + 3 (2 - \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Étape 19.2.5.2

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 - (- 4 \sqrt{3}) + 3 (2 - \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Étape 19.2.5.3

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 + 4 \sqrt{3} + 3 (2 - \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Étape 19.2.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 + 4 \sqrt{3} + (3 \cdot 2 + 3 (- \sqrt{3})) \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Étape 19.2.5.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 + 4 \sqrt{3} + (6 + 3 (- \sqrt{3})) \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Étape 19.2.5.6

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 + 4 \sqrt{3} + (6 - 3 \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Étape 19.2.5.7

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 2 - 3 \sqrt{3} \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Étape 19.2.5.8

Multipliez $6$ par $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 + 4 \sqrt{3} + 12 - 3 \sqrt{3} \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Étape 19.2.5.9

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 + 4 \sqrt{3} + 12 - 6 \sqrt{3}}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Étape 19.2.5.10

Additionnez $- 7$ et $12$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{5 + 4 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Étape 19.2.5.11

Soustrayez $6 \sqrt{3}$ de $4 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{5 - 2 \sqrt{3}}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Étape 19.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 19.2.6.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{5 - 2 \sqrt{3}}{4} + \frac{4}{4} - \sqrt{3}$

Étape 19.2.6.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{5 - 2 \sqrt{3} + 4}{4} - \sqrt{3}$

Étape 19.2.6.3

Additionnez $5$ et $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 - 2 \sqrt{3}}{4} - \sqrt{3}$

Étape 19.2.7

Pour écrire $- \sqrt{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 - 2 \sqrt{3}}{4} - \sqrt{3} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 19.2.8

Associez les fractions.

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Étape 19.2.8.1

Associez $- \sqrt{3}$ et $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 - 2 \sqrt{3}}{4} + \frac{- \sqrt{3} \cdot 4}{4}$

Étape 19.2.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 4}{4}$

Étape 19.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 19.2.9.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 - 2 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3}}{4}$

Étape 19.2.9.2

Soustrayez $4 \sqrt{3}$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 - 6 \sqrt{3}}{4}$

Étape 19.2.10

La réponse finale est $\frac{9 - 6 \sqrt{3}}{4}$ .

$y = \frac{9 - 6 \sqrt{3}}{4}$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = - x^{4} + 3 x^{2} + 2 x$ .

$(- 1, 0)$ est un maximum local

$(\frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{9 + 6 \sqrt{3}}{4})$ est un maximum local

$(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}, \frac{9 - 6 \sqrt{3}}{4})$ est un minimum local

Étape 21