Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 6 x^{\frac{7}{2}} + 4 x^{\frac{5}{2}} + 2 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{\frac{7}{2}} + 4 x^{\frac{5}{2}} + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{7}{2}}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{\frac{7}{2}}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{7}{2}$ .

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $2$ de $7$ .

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.2.7

Associez $\frac{7}{2}$ et $x^{\frac{5}{2}}$ .

$6 \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.2.8

Associez $6$ et $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ .

$\frac{6 (7 x^{\frac{5}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.2.9

Multipliez $7$ par $6$ .

$\frac{42 x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.2.10

Factorisez $2$ à partir de $42 x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 (21 x^{\frac{5}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.2.11

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.11.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (21 x^{\frac{5}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.2.11.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (21 x^{\frac{5}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.2.11.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{21 x^{\frac{5}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.2.11.4

Divisez $21 x^{\frac{5}{2}}$ par $1$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{\frac{5}{2}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{2}$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.3.6.2

Soustrayez $2$ de $5$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.3.7

Associez $\frac{5}{2}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.3.8

Associez $4$ et $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{4 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.3.9

Multipliez $5$ par $4$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{20 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.3.10

Factorisez $2$ à partir de $20 x^{\frac{3}{2}}$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (10 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.3.11

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.11.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (10 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.3.11.2

Annulez le facteur commun.

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (10 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.3.11.3

Réécrivez l’expression.

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.3.11.4

Divisez $10 x^{\frac{3}{2}}$ par $1$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1$

Étape 1.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (x) = 21 x^{\frac{5}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} + 2$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $21 x^{\frac{5}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [21 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [21 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [21 x^{\frac{5}{2}}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $21$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $21 x^{\frac{5}{2}}$ par rapport à $x$ est $21 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$21 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{2}$ .

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.6.2

Soustrayez $2$ de $5$ .

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.7

Associez $\frac{5}{2}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$21 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.8

Associez $21$ et $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{21 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.9

Multipliez $5$ par $21$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.6.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.7

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.8

Associez $10$ et $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{10 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.9

Multipliez $3$ par $10$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{30 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.10

Factorisez $2$ à partir de $30 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (15 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.11

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.11.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (15 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.11.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (15 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.11.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.11.4

Divisez $15 x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 15 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 15 x^{\frac{1}{2}} + 0$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Additionnez $\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 15 x^{\frac{1}{2}}$ et $0$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 15 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 15 x^{\frac{1}{2}} + \frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $15 x^{\frac{1}{2}} + \frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$15 x^{\frac{1}{2}} + \frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2}$