Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{- 3} + 3 x^{- 2} + 1}{x^{- 2} + x^{- 1} + 3}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{- 3} + 3 x^{- 2} + 1}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + x^{- 1} + 3}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{- 3} + lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + x^{- 1} + 3}$

Étape 3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}} + lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + x^{- 1} + 3}$

Étape 4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{3}}$ approche de $0$ .

$\frac{0 + lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + x^{- 1} + 3}$

Étape 5

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0 + 3 lim_{x \to \infty} x^{- 2} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + x^{- 1} + 3}$

Étape 6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + x^{- 1} + 3}$

Étape 7

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{0 + 3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + x^{- 1} + 3}$

Étape 8

Évaluez la limite.

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Étape 8.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{0 + 3 \cdot 0 + 1}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + x^{- 1} + 3}$

Étape 8.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{0 + 3 \cdot 0 + 1}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + lim_{x \to \infty} x^{- 1} + lim_{x \to \infty} 3}$

Étape 9

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0 + 3 \cdot 0 + 1}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} x^{- 1} + lim_{x \to \infty} 3}$

Étape 10

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{0 + 3 \cdot 0 + 1}{0 + lim_{x \to \infty} x^{- 1} + lim_{x \to \infty} 3}$

Étape 11

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0 + 3 \cdot 0 + 1}{0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} 3}$

Étape 12

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{0 + 3 \cdot 0 + 1}{0 + 0 + lim_{x \to \infty} 3}$

Étape 13

Évaluez la limite.

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Étape 13.1

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{0 + 3 \cdot 0 + 1}{0 + 0 + 3}$

Étape 13.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.2.1.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{0 + 0 + 1}{0 + 0 + 3}$

Étape 13.2.1.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0 + 1}{0 + 0 + 3}$

Étape 13.2.1.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1}{0 + 0 + 3}$

Étape 13.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{1}{0 + 3}$

Étape 13.2.2.2

Additionnez $0$ et $3$ .

$\frac{1}{3}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{3}$

Forme décimale :

$0.\overline{3}$