Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{e^{(a + 1) x}}{a}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{e^{(a + 1) x}}{a} d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{a}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{a}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{a} \int e^{(a + 1) x} d x$

Étape 4

Laissez $u = (a + 1) x$ . Alors $d u = (a + 1) d x$ , donc $\frac{1}{a + 1} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = (a + 1) x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $(a + 1) x$ .

$\frac{d}{d x} [(a + 1) x]$

Étape 4.1.2

Comme $a + 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $(a + 1) x$ par rapport à $x$ est $(a + 1) \frac{d}{d x} [x]$ .

$(a + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(a + 1) \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $a + 1$ par $1$ .

$a + 1$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{a} \int e^{u} \frac{1}{a + 1} d u$

Étape 5

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{a + 1}$ .

$\frac{1}{a} \int \frac{e^{u}}{a + 1} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{a + 1}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{a + 1}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{a} (\frac{1}{a + 1} \int e^{u} d u)$

Étape 7

Multipliez $\frac{1}{a + 1}$ par $\frac{1}{a}$ .

$\frac{1}{(a + 1) a} \int e^{u} d u$

Étape 8

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{1}{(a + 1) a} (e^{u} + C)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez

$\frac{1}{(a + 1) a} e^{u} + C$

Étape 9.2

Associez $\frac{1}{(a + 1) a}$ et $e^{u}$ .

$\frac{e^{u}}{(a + 1) a} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $(a + 1) x$ .

$\frac{e^{(a + 1) x}}{(a + 1) a} + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{e^{(a + 1) x}}{a}$ .

$F (x) =$ $\frac{e^{(a + 1) x}}{(a + 1) a} + C$