Calcul infinitésimal Exemples

$\int (\frac{x^{4}}{2} + \frac{5 x^{3}}{3} - 2 x) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int \frac{x^{4}}{2} + \frac{5 x^{3}}{3} - 2 x d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{x^{4}}{2} d x + \int \frac{5 x^{3}}{3} d x + \int - 2 x d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int x^{4} d x + \int \frac{5 x^{3}}{3} d x + \int - 2 x d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int \frac{5 x^{3}}{3} d x + \int - 2 x d x$

Étape 5

Comme $\frac{5}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{5}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \frac{5}{3} \int x^{3} d x + \int - 2 x d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \frac{5}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 2 x d x$

Étape 7

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \frac{5}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 2 \int x d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \frac{5}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez

$\frac{x^{5}}{10} + \frac{5 x^{4}}{12} - 2 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Étape 9.2

Simplifiez

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Étape 9.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{5}}{10} + \frac{5 x^{4}}{12} - 2 \frac{x^{2}}{2} + C$

Étape 9.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{5}}{10} + \frac{5 x^{4}}{12} + \frac{- 2 x^{2}}{2} + C$

Étape 9.2.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 9.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{x^{5}}{10} + \frac{5 x^{4}}{12} + \frac{2 (- x^{2})}{2} + C$

Étape 9.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{x^{5}}{10} + \frac{5 x^{4}}{12} + \frac{2 (- x^{2})}{2 (1)} + C$

Étape 9.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{5}}{10} + \frac{5 x^{4}}{12} + \frac{2 (- x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Étape 9.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{5}}{10} + \frac{5 x^{4}}{12} + \frac{- x^{2}}{1} + C$

Étape 9.2.3.2.4

Divisez $- x^{2}$ par $1$ .

$\frac{x^{5}}{10} + \frac{5 x^{4}}{12} - x^{2} + C$

Étape 9.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{10} x^{5} + \frac{5}{12} x^{4} - x^{2} + C$