Calcul infinitésimal Exemples

Trouver les points tournants p(x)=(x-7)(x+4)(x-2)
Étape 1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est et .
Étape 1.2
Différenciez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.2.3
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.4
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.1
Additionnez et .
Étape 1.2.4.2
Multipliez par .
Étape 1.3
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est et .
Étape 1.4
Différenciez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.4.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.4.3
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.4.4
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.4.1
Additionnez et .
Étape 1.4.4.2
Multipliez par .
Étape 1.4.5
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.4.6
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.4.7
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.4.8
Simplifiez en ajoutant des termes.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.8.1
Additionnez et .
Étape 1.4.8.2
Multipliez par .
Étape 1.4.8.3
Additionnez et .
Étape 1.4.8.4
Additionnez et .
Étape 1.5
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.5.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.5.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.5.4
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.5.5
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.5.6
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.5.7
Associez des termes.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.7.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.5.7.2
Élevez à la puissance .
Étape 1.5.7.3
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.5.7.4
Additionnez et .
Étape 1.5.7.5
Déplacez à gauche de .
Étape 1.5.7.6
Multipliez par .
Étape 1.5.7.7
Additionnez et .
Étape 1.5.7.8
Élevez à la puissance .
Étape 1.5.7.9
Élevez à la puissance .
Étape 1.5.7.10
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.5.7.11
Additionnez et .
Étape 1.5.7.12
Multipliez par .
Étape 1.5.7.13
Déplacez à gauche de .
Étape 1.5.7.14
Multipliez par .
Étape 1.5.7.15
Soustrayez de .
Étape 1.5.7.16
Additionnez et .
Étape 1.5.7.17
Soustrayez de .
Étape 1.5.7.18
Additionnez et .
Étape 2
Définissez la dérivée première égale à et résolvez pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.
Étape 2.2
Remplacez les valeurs , et dans la formule quadratique et résolvez pour .
Étape 2.3
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.3.1
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.3.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 2.3.1.2
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.3.1.2.1
Multipliez par .
Étape 2.3.1.2.2
Multipliez par .
Étape 2.3.1.3
Additionnez et .
Étape 2.3.1.4
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.3.1.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.3.1.4.2
Réécrivez comme .
Étape 2.3.1.5
Extrayez les termes de sous le radical.
Étape 2.3.2
Multipliez par .
Étape 2.3.3
Simplifiez .
Étape 2.4
Simplifiez l’expression pour résoudre la partie du .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.1
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 2.4.1.2
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.1.2.1
Multipliez par .
Étape 2.4.1.2.2
Multipliez par .
Étape 2.4.1.3
Additionnez et .
Étape 2.4.1.4
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.1.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.4.1.4.2
Réécrivez comme .
Étape 2.4.1.5
Extrayez les termes de sous le radical.
Étape 2.4.2
Multipliez par .
Étape 2.4.3
Simplifiez .
Étape 2.4.4
Remplacez le par .
Étape 2.5
Simplifiez l’expression pour résoudre la partie du .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.1
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 2.5.1.2
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.1.2.1
Multipliez par .
Étape 2.5.1.2.2
Multipliez par .
Étape 2.5.1.3
Additionnez et .
Étape 2.5.1.4
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.1.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.5.1.4.2
Réécrivez comme .
Étape 2.5.1.5
Extrayez les termes de sous le radical.
Étape 2.5.2
Multipliez par .
Étape 2.5.3
Simplifiez .
Étape 2.5.4
Remplacez le par .
Étape 2.6
La réponse finale est la combinaison des deux solutions.
Étape 3
Divisez en intervalles distincts autour des valeurs qui rendent la dérivée première ou indéfinie.
Étape 4
Remplacez tout nombre, tel que , de l’intervalle dans la dérivée première pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 4.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 4.2.1.2
Multipliez par .
Étape 4.2.1.3
Multipliez par .
Étape 4.2.2
Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.2.1
Additionnez et .
Étape 4.2.2.2
Soustrayez de .
Étape 4.2.3
La réponse finale est .
Étape 5
Remplacez tout nombre, tel que , de l’intervalle dans la dérivée première pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 5.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.1.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 5.2.1.2
Multipliez par .
Étape 5.2.1.3
Multipliez par .
Étape 5.2.2
Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.2.1
Additionnez et .
Étape 5.2.2.2
Soustrayez de .
Étape 5.2.3
La réponse finale est .
Étape 6
Remplacez tout nombre, tel que , de l’intervalle dans la dérivée première pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 6.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.1.2
Multipliez par .
Étape 6.2.1.3
Multipliez par .
Étape 6.2.2
Simplifiez en soustrayant des nombres.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.2.1
Soustrayez de .
Étape 6.2.2.2
Soustrayez de .
Étape 6.2.3
La réponse finale est .
Étape 7
Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de , il y a un changement de sens sur .
Étape 8
Déterminez la coordonnée y de afin de déterminer le changement de sens.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.1
Déterminez afin de déterminer la coordonnée y de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.1.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 8.1.2
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.1.2.1
Supprimez les parenthèses.
Étape 8.1.2.2
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 8.1.2.3
Associez les fractions.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.1.2.3.1
Associez et .
Étape 8.1.2.3.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 8.1.2.4
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.1.2.4.1
Multipliez par .
Étape 8.1.2.4.2
Soustrayez de .
Étape 8.1.2.5
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 8.1.2.6
Associez les fractions.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.1.2.6.1
Associez et .
Étape 8.1.2.6.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 8.1.2.7
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.1.2.7.1
Multipliez par .
Étape 8.1.2.7.2
Additionnez et .
Étape 8.1.2.8
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.1.2.8.1
Multipliez par .
Étape 8.1.2.8.2
Multipliez par .
Étape 8.1.2.9
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.1.2.9.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 8.1.2.9.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 8.1.2.9.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 8.1.2.10
Simplifiez et associez les termes similaires.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.1.2.10.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.1.2.10.1.1
Multipliez par .
Étape 8.1.2.10.1.2
Multipliez par .
Étape 8.1.2.10.1.3
Multipliez par .
Étape 8.1.2.10.1.4
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.1.2.10.1.4.1
Multipliez par .
Étape 8.1.2.10.1.4.2
Multipliez par .
Étape 8.1.2.10.1.4.3
Élevez à la puissance .
Étape 8.1.2.10.1.4.4
Élevez à la puissance .
Étape 8.1.2.10.1.4.5
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 8.1.2.10.1.4.6
Additionnez et .
Étape 8.1.2.10.1.5
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.1.2.10.1.5.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 8.1.2.10.1.5.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 8.1.2.10.1.5.3
Associez et .
Étape 8.1.2.10.1.5.4
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.1.2.10.1.5.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 8.1.2.10.1.5.4.2
Réécrivez l’expression.
Étape 8.1.2.10.1.5.5
Évaluez l’exposant.
Étape 8.1.2.10.2
Additionnez et .
Étape 8.1.2.10.3
Soustrayez de .
Étape 8.1.2.11
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 8.1.2.12
Associez les fractions.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.1.2.12.1
Associez et .
Étape 8.1.2.12.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 8.1.2.13
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.1.2.13.1
Multipliez par .
Étape 8.1.2.13.2
Soustrayez de .
Étape 8.1.2.14
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.1.2.14.1
Multipliez par .
Étape 8.1.2.14.2
Multipliez par .
Étape 8.1.2.15
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.1.2.15.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 8.1.2.15.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 8.1.2.15.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 8.1.2.16
Simplifiez et associez les termes similaires.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.1.2.16.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.1.2.16.1.1
Multipliez par .
Étape 8.1.2.16.1.2
Multipliez par .
Étape 8.1.2.16.1.3
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.1.2.16.1.3.1
Multipliez par .
Étape 8.1.2.16.1.3.2
Multipliez par .
Étape 8.1.2.16.1.4
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.1.2.16.1.4.1
Multipliez par .
Étape 8.1.2.16.1.4.2
Multipliez par .
Étape 8.1.2.16.1.4.3
Élevez à la puissance .
Étape 8.1.2.16.1.4.4
Élevez à la puissance .
Étape 8.1.2.16.1.4.5
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 8.1.2.16.1.4.6
Additionnez et .
Étape 8.1.2.16.1.5
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.1.2.16.1.5.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 8.1.2.16.1.5.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 8.1.2.16.1.5.3
Associez et .
Étape 8.1.2.16.1.5.4
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.1.2.16.1.5.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 8.1.2.16.1.5.4.2
Réécrivez l’expression.
Étape 8.1.2.16.1.5.5
Évaluez l’exposant.
Étape 8.1.2.16.2
Additionnez et .
Étape 8.1.2.16.3
Additionnez et .
Étape 8.2
Écrivez les coordonnées et dans la forme de point.
Étape 9
Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de , il y a un changement de sens sur .
Étape 10
Déterminez la coordonnée y de afin de déterminer le changement de sens.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.1
Déterminez afin de déterminer la coordonnée y de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.1.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 10.1.2
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.1.2.1
Supprimez les parenthèses.
Étape 10.1.2.2
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 10.1.2.3
Associez les fractions.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.1.2.3.1
Associez et .
Étape 10.1.2.3.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 10.1.2.4
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.1.2.4.1
Multipliez par .
Étape 10.1.2.4.2
Soustrayez de .
Étape 10.1.2.5
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 10.1.2.6
Associez les fractions.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.1.2.6.1
Associez et .
Étape 10.1.2.6.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 10.1.2.7
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.1.2.7.1
Multipliez par .
Étape 10.1.2.7.2
Additionnez et .
Étape 10.1.2.8
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.1.2.8.1
Multipliez par .
Étape 10.1.2.8.2
Multipliez par .
Étape 10.1.2.9
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.1.2.9.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 10.1.2.9.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 10.1.2.9.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 10.1.2.10
Simplifiez et associez les termes similaires.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.1.2.10.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.1.2.10.1.1
Multipliez par .
Étape 10.1.2.10.1.2
Déplacez à gauche de .
Étape 10.1.2.10.1.3
Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.
Étape 10.1.2.10.1.4
Multipliez par .
Étape 10.1.2.10.1.5
Réécrivez comme .
Étape 10.1.2.10.1.6
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 10.1.2.10.2
Additionnez et .
Étape 10.1.2.10.3
Additionnez et .
Étape 10.1.2.11
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 10.1.2.12
Associez les fractions.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.1.2.12.1
Associez et .
Étape 10.1.2.12.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 10.1.2.13
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.1.2.13.1
Multipliez par .
Étape 10.1.2.13.2
Soustrayez de .
Étape 10.1.2.14
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.1.2.14.1
Multipliez par .
Étape 10.1.2.14.2
Multipliez par .
Étape 10.1.2.15
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.1.2.15.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 10.1.2.15.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 10.1.2.15.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 10.1.2.16
Simplifiez et associez les termes similaires.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.1.2.16.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.1.2.16.1.1
Multipliez par .
Étape 10.1.2.16.1.2
Déplacez à gauche de .
Étape 10.1.2.16.1.3
Réécrivez comme .
Étape 10.1.2.16.1.4
Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.
Étape 10.1.2.16.1.5
Multipliez par .
Étape 10.1.2.16.1.6
Réécrivez comme .
Étape 10.1.2.16.1.7
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 10.1.2.16.2
Additionnez et .
Étape 10.1.2.16.3
Soustrayez de .
Étape 10.2
Écrivez les coordonnées et dans la forme de point.
Étape 11
Ce sont les changements de sens.
Étape 12