Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{x = 1}^{4} x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$

Étape 1

Développez la série pour chaque valeur de $x$ .

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 + 1 + 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$1 + 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 + 1 + 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Étape 2.2

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$1 + 3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1 + 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Étape 2.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$1 + 3 + 3 \cdot 1 + 1 + 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Étape 2.4

Additionnez $1$ et $3$ .

$4 + 3 \cdot 1 + 1 + 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Étape 2.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$4 + 3 + 1 + 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Étape 2.6

Additionnez $4$ et $3$ .

$7 + 1 + 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Étape 2.7

Additionnez $7$ et $1$ .

$8 + 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Étape 2.8

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 + 8 + 3 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Étape 2.9

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$8 + 8 + 3 \cdot 4 + 3 \cdot 2 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Étape 2.10

Multipliez $3$ par $4$ .

$8 + 8 + 12 + 3 \cdot 2 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Étape 2.11

Additionnez $8$ et $12$ .

$8 + 20 + 3 \cdot 2 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Étape 2.12

Multipliez $3$ par $2$ .

$8 + 20 + 6 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Étape 2.13

Additionnez $20$ et $6$ .

$8 + 26 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Étape 2.14

Additionnez $26$ et $1$ .

$8 + 27 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Étape 2.15

Additionnez $8$ et $27$ .

$35 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Étape 2.16

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$35 + 27 + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Étape 2.17

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$35 + 27 + 3 \cdot 9 + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Étape 2.18

Multipliez $3$ par $9$ .

$35 + 27 + 27 + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Étape 2.19

Additionnez $27$ et $27$ .

$35 + 54 + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Étape 2.20

Multipliez $3$ par $3$ .

$35 + 54 + 9 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Étape 2.21

Additionnez $54$ et $9$ .

$35 + 63 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Étape 2.22

Additionnez $63$ et $1$ .

$35 + 64 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Étape 2.23

Additionnez $35$ et $64$ .

$99 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Étape 2.24

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$99 + 64 + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Étape 2.25

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$99 + 64 + 3 \cdot 16 + 3 \cdot 4 + 1$

Étape 2.26

Multipliez $3$ par $16$ .

$99 + 64 + 48 + 3 \cdot 4 + 1$

Étape 2.27

Additionnez $64$ et $48$ .

$99 + 112 + 3 \cdot 4 + 1$

Étape 2.28

Multipliez $3$ par $4$ .

$99 + 112 + 12 + 1$

Étape 2.29

Additionnez $112$ et $12$ .

$99 + 124 + 1$

Étape 2.30

Additionnez $124$ et $1$ .

$99 + 125$

Étape 2.31

Additionnez $99$ et $125$ .

$224$