Calcul infinitésimal Exemples

$(x + y^{2}) \sqrt{e^{x}} + \frac{2}{e}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $(x + y^{2}) \sqrt{e^{x}} + \frac{2}{e}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [(x + y^{2}) \sqrt{e^{x}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$ .

$\frac{d}{d x} [(x + y^{2}) \sqrt{e^{x}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [(x + y^{2}) \sqrt{e^{x}}]$ .

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{e^{x}}$ comme $e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(x + y^{2}) e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + y^{2}$ et $g (x) = e^{\frac{x}{2}}$ .

$(x + y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}] + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x + y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{2}$ .

$(x + y^{2}) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x + y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$(x + y^{2}) (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x + y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{2}$ .

$(x + y^{2}) (e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x + y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Étape 2.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x + y^{2}) (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x + y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x + y^{2}) (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x + y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Étape 2.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$(x + y^{2}) (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + e^{\frac{x}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x + y^{2}) (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + e^{\frac{x}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Étape 2.8

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x + y^{2}) (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + e^{\frac{x}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Étape 2.9

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$(x + y^{2}) (e^{\frac{x}{2}} \frac{1}{2}) + e^{\frac{x}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Étape 2.10

Associez $e^{\frac{x}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$(x + y^{2}) \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Étape 2.11

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x + y^{2}) \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Étape 2.12

Multipliez $e^{\frac{x}{2}}$ par $1$ .

$(x + y^{2}) \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Étape 3

Comme $\frac{2}{e}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{e}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x + y^{2}) \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} + 0$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + y^{2} \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} + 0$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Associez $x$ et $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + y^{2} \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} + 0$

Étape 4.2.2

Associez $y^{2}$ et $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{y^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} + 0$

Étape 4.2.3

Additionnez $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{y^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ et $0$ .

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{y^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

Étape 4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{y^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$