Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x) + \tan (5 x)}{1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (5 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \tan (5 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \tan (5 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Étape 1.1.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \tan (5 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Étape 1.1.2.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + \tan (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Étape 1.1.2.5

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + \tan (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Étape 1.1.2.6

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1 - \cos (0) + \tan (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Étape 1.1.2.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1 - \cos (0) + \tan (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Étape 1.1.2.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.7.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + \tan (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Étape 1.1.2.7.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1 + \tan (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Étape 1.1.2.7.1.3

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{1 - 1 + \tan (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Étape 1.1.2.7.1.4

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Étape 1.1.2.7.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Étape 1.1.2.7.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Étape 1.1.3.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Étape 1.1.3.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) - \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.1.3.5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.3.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0) - \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.1.3.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0) - \tan (0)}$

Étape 1.1.3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.6.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1 - \tan (0)}$

Étape 1.1.3.6.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 - \tan (0)}$

Étape 1.1.3.6.1.3

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{1 - 1 - 0}$

Étape 1.1.3.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0}{1 - 1 + 0}$

Étape 1.1.3.6.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Étape 1.1.3.6.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.6.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x) + \tan (5 x)}{1 - \cos (x) - \tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (x) + \tan (5 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Étape 1.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Étape 1.3.4.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \sin (x) + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Étape 1.3.4.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Étape 1.3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [\tan (5 x)]$ .

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Étape 1.3.5.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 1.3.5.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Étape 1.3.5.1.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Étape 1.3.5.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \sec^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Étape 1.3.5.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \sec^{2} (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Étape 1.3.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \sec^{2} (5 x) (5 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Étape 1.3.5.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \sec^{2} (5 x) \cdot 5}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Étape 1.3.5.5

Déplacez $5$ à gauche de $\sec^{2} (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + 5 \sec^{2} (5 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Étape 1.3.6

Simplifiez

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Étape 1.3.6.1

Additionnez $0$ et $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 5 \sec^{2} (5 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Étape 1.3.6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.6.2.1

Réécrivez $\sec (5 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 5 {(\frac{1}{\cos (5 x)})}^{2}}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Étape 1.3.6.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 5 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Étape 1.3.6.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 5 \frac{1}{\cos^{2} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Étape 1.3.6.2.4

Associez $5$ et $\frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Étape 1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (x) - \tan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

Étape 1.3.8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

Étape 1.3.9

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Étape 1.3.9.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

Étape 1.3.9.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{0 - - \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

Étape 1.3.9.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{0 + 1 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

Étape 1.3.9.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{0 + \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

Étape 1.3.10

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

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Étape 1.3.10.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \tan (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{0 + \sin (x) - \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 1.3.10.2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{0 + \sin (x) - \sec^{2} (x)}$

Étape 1.3.11

Simplifiez

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Étape 1.3.11.1

Additionnez $0$ et $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{\sin (x) - \sec^{2} (x)}$

Étape 1.3.11.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.11.2.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{\sin (x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

Étape 1.3.11.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{\sin (x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}$

Étape 1.3.11.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{\sin (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

Étape 1.4

Associez des termes.

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Étape 1.4.1

Pour écrire $\sin (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos^{2} (5 x)}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (x) \cos^{2} (5 x)}{\cos^{2} (5 x)} + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{\sin (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

Étape 1.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (x) \cos^{2} (5 x) + 5}{\cos^{2} (5 x)}}{\sin (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

Étape 1.4.3

Pour écrire $\sin (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (x) \cos^{2} (5 x) + 5}{\cos^{2} (5 x)}}{\frac{\sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

Étape 1.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (x) \cos^{2} (5 x) + 5}{\cos^{2} (5 x)}}{\frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (5 x) + 5}{\cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos^{2} (5 x) + 5}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos^{2} (5 x) + lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x) + lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Étape 2.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x) + lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Étape 2.6

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (5 x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} \cos (5 x))}^{2} + lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Étape 2.7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} 5 x) + lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Étape 2.8

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Étape 2.9

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Étape 2.10

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (5 x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{{(lim_{x \to 0} \cos (5 x))}^{2}}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Étape 2.11

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} 5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Étape 2.12

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Étape 2.13

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}}$

Étape 2.14

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos^{2} (x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}}$

Étape 2.15

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}}$

Étape 2.16

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}}$

Étape 2.17

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}}$

Étape 2.18

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}}$

Étape 2.19

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}}$

Étape 2.20

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

Étape 2.21

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 3.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 3.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 3.6

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{\frac{0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Étape 4.1.2

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{\frac{0 \cdot \cos^{2} (0) + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Étape 4.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{\frac{0 \cdot 1^{2} + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Étape 4.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\frac{0 \cdot 1 + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Étape 4.1.5

Multipliez $0$ par $1$ .

$\frac{\frac{0 + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Étape 4.1.6

Additionnez $0$ et $5$ .

$\frac{\frac{5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{\frac{5}{\cos^{2} (0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Étape 4.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{\frac{5}{1^{2}}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Étape 4.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Étape 4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{0 \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Étape 4.3.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{0 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Étape 4.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{0 \cdot 1 - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Étape 4.3.4

Multipliez $0$ par $1$ .

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{0 - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Étape 4.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{0 - 1}{\cos^{2} (0)}}$

Étape 4.3.6

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{- 1}{\cos^{2} (0)}}$

Étape 4.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.4.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{- 1}{1^{2}}}$

Étape 4.4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{- 1}{1}}$

Étape 4.5

Divisez $5$ par $1$ .

$\frac{5}{\frac{- 1}{1}}$

Étape 4.6

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\frac{5}{- 1}$

Étape 4.7

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{5}{- 1}$ .

$- 1 \cdot 5$

Étape 4.8

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- 5$