Calcul infinitésimal Exemples

$- 4 y - 2 = - 2 x y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (- 4 y - 2) = \frac{d}{d x} (- 2 x y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 y - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 y$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- 4 y' + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 y' + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $- 4 y'$ et $0$ .

$- 4 y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x y$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$- 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 (x y' + y \cdot 1)$

Étape 3.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$- 2 (x y' + y)$

Étape 3.6

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x y' - 2 y$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- 4 y' = - 2 x y' - 2 y$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Ajoutez $2 x y'$ aux deux côtés de l’équation.

$- 4 y' + 2 x y' = - 2 y$

Étape 5.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $- 4 y' + 2 x y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2 y'$ à partir de $- 4 y'$ .

$2 y' \cdot - 2 + 2 x y' = - 2 y$

Étape 5.2.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 x y'$ .

$2 y' \cdot - 2 + 2 y' x = - 2 y$

Étape 5.2.3

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y' \cdot - 2 + 2 y' x$ .

$2 y' (- 2 + x) = - 2 y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $2 y' (- 2 + x) = - 2 y$ par $2 (- 2 + x)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $2 y' (- 2 + x) = - 2 y$ par $2 (- 2 + x)$ .

$\frac{2 y' (- 2 + x)}{2 (- 2 + x)} = \frac{- 2 y}{2 (- 2 + x)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y' (- 2 + x)}{2 (- 2 + x)} = \frac{- 2 y}{2 (- 2 + x)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (- 2 + x)}{- 2 + x} = \frac{- 2 y}{2 (- 2 + x)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $- 2 + x$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- 2 + x)}{- 2 + x} = \frac{- 2 y}{2 (- 2 + x)}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 y}{2 (- 2 + x)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y$ .

$y' = \frac{2 (- y)}{2 (- 2 + x)}$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (- y)}{2 (- 2 + x)}$

Étape 5.3.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y}{- 2 + x}$

Étape 5.3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y}{- 2 + x}$

Étape 5.3.3.3

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$y' = - \frac{y}{- 1 (2) + x}$

Étape 5.3.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$y' = - \frac{y}{- 1 (2) - 1 (- x)}$

Étape 5.3.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (2) - 1 (- x)$ .

$y' = - \frac{y}{- 1 (2 - x)}$

Étape 5.3.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - - \frac{y}{2 - x}$

Étape 5.3.3.6.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y' = 1 \frac{y}{2 - x}$

Étape 5.3.3.6.3

Multipliez $\frac{y}{2 - x}$ par $1$ .

$y' = \frac{y}{2 - x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 - x}$