Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{7} + x^{5} - 15}{4 x^{2} + 32 x}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{3 x^{7}}{x^{2}} + \frac{x^{5}}{x^{2}} + \frac{- 15}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{32 x}{x^{2}}}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun à $x^{7}$ et $x^{2}$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 x^{7}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{2} (3 x^{5})}{x^{2}} + \frac{x^{5}}{x^{2}} + \frac{- 15}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{32 x}{x^{2}}}$

Étape 2.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{2} (3 x^{5})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{x^{5}}{x^{2}} + \frac{- 15}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{32 x}{x^{2}}}$

Étape 2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{2} (3 x^{5})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{x^{5}}{x^{2}} + \frac{- 15}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{32 x}{x^{2}}}$

Étape 2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{3 x^{5}}{1} + \frac{x^{5}}{x^{2}} + \frac{- 15}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{32 x}{x^{2}}}$

Étape 2.1.1.2.4

Divisez $3 x^{5}$ par $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{5} + \frac{x^{5}}{x^{2}} + \frac{- 15}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{32 x}{x^{2}}}$

Étape 2.1.2

Annulez le facteur commun à $x^{5}$ et $x^{2}$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{5}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{5} + \frac{x^{2} x^{3}}{x^{2}} + \frac{- 15}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{32 x}{x^{2}}}$

Étape 2.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{5} + \frac{x^{2} x^{3}}{x^{2} \cdot 1} + \frac{- 15}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{32 x}{x^{2}}}$

Étape 2.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{5} + \frac{x^{2} x^{3}}{x^{2} \cdot 1} + \frac{- 15}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{32 x}{x^{2}}}$

Étape 2.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{5} + \frac{x^{3}}{1} + \frac{- 15}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{32 x}{x^{2}}}$

Étape 2.1.2.2.4

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{5} + x^{3} + \frac{- 15}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{32 x}{x^{2}}}$

Étape 2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{5} + x^{3} - \frac{15}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{32 x}{x^{2}}}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{5} + x^{3} - \frac{15}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{32 x}{x^{2}}}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $4$ par $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{5} + x^{3} - \frac{15}{x^{2}}}{4 + \frac{32 x}{x^{2}}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $32 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{5} + x^{3} - \frac{15}{x^{2}}}{4 + \frac{x \cdot 32}{x^{2}}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{5} + x^{3} - \frac{15}{x^{2}}}{4 + \frac{x \cdot 32}{x \cdot x}}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{5} + x^{3} - \frac{15}{x^{2}}}{4 + \frac{x \cdot 32}{x \cdot x}}$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{5} + x^{3} - \frac{15}{x^{2}}}{4 + \frac{32}{x}}$

Étape 3

Lorsque $x$ approche de $- \infty$ , la fraction $\frac{15}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{5} + x^{3} - 0}{4 + \frac{32}{x}}$

Étape 4

Lorsque $x$ approche de $- \infty$ , la fraction $\frac{32}{x}$ approche de $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{5} + x^{3} - 0}{4 + 0}$

Étape 5

Comme son numérateur n’a pas de borne lorsque son dénominateur approche d’un nombre constant, la fraction $\frac{3 x^{5} + x^{3} - 0}{4 + 0}$ approche de l’infini négatif.

$- \infty$