Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

Étape 1

Laissez $x = f (x)$ , prenez le logarithme naturel des deux côtés $\ln (x) = \ln (f (x))$ .

$\ln (f (x)) = \ln (\ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4}))$

Étape 2

Développez le côté droit.

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Étape 2.1

Réécrivez $\ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$ comme $\ln (e^{x} x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4})$ .

$\ln (f (x)) = \ln (\ln (e^{x} x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4}))$

Étape 2.2

Réécrivez $\ln (e^{x} x^{3})$ comme $\ln (e^{x}) + \ln (x^{3})$ .

$\ln (f (x)) = \ln (\ln (e^{x}) + \ln (x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4}))$

Étape 2.3

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$\ln (f (x)) = \ln (x \ln (e) + \ln (x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4}))$

Étape 2.4

Développez $\ln (x^{3})$ en déplaçant $3$ hors du logarithme.

$\ln (f (x)) = \ln (x \ln (e) + 3 \ln (x) + \ln ({(x + 1)}^{4}))$

Étape 2.5

Développez $\ln ({(x + 1)}^{4})$ en déplaçant $4$ hors du logarithme.

$\ln (f (x)) = \ln (x \ln (e) + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$

Étape 2.6

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (f (x)) = \ln (x \cdot 1 + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$

Étape 2.7

Multipliez $x$ par $1$ .

$\ln (f (x)) = \ln (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$

Étape 3

Différenciez l’expression en utilisant la règle d’enchaînement, sans oublier que $y$ est une fonction de $x$ .

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Étape 3.1

Différenciez le côté gauche de $\ln (f (x))$ en utilisant la règle d’enchaînement.

$\frac{x'}{x} = \ln (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$

Étape 3.2

Différenciez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Différenciez $\ln (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{d}{d x} [\ln (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)$ .

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Étape 3.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)]$

Étape 3.2.2.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)]$

Étape 3.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} \frac{d}{d x} [x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)]$

Étape 3.2.3

Différenciez.

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Étape 3.2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)]$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

Étape 3.2.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

Étape 3.2.4

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + 3 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

Étape 3.2.5

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 3.2.5.1

Associez $3$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

Étape 3.2.5.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \ln (x + 1)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + 4 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)])$

Étape 3.2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 3.2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x + 1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x + 1]))$

Étape 3.2.6.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + 4 (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]))$

Étape 3.2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + 1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + 4 (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]))$

Étape 3.2.7

Différenciez.

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Étape 3.2.7.1

Associez $\frac{1}{x + 1}$ et $4$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 3.2.7.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 3.2.7.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 3.2.7.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} (1 + 0))$

Étape 3.2.7.5

Associez en une fraction.

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Étape 3.2.7.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} \cdot 1)$

Étape 3.2.7.5.2

Simplifiez

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Étape 3.2.7.5.2.1

Multipliez $\frac{4}{x + 1}$ par $1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1})$

Étape 3.2.7.5.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} + \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{4}{x + 1})$

Étape 3.2.7.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} + \frac{x + 1 + 4}{x + 1})$

Étape 3.2.7.5.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} + \frac{x + 5}{x + 1})$

Étape 3.2.8

Pour écrire $\frac{3}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x + 5}{x + 1})$

Étape 3.2.9

Pour écrire $\frac{x + 5}{x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x + 5}{x + 1} \cdot \frac{x}{x})$

Étape 3.2.10

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x (x + 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.2.10.1

Multipliez $\frac{3}{x}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3 (x + 1)}{x (x + 1)} + \frac{x + 5}{x + 1} \cdot \frac{x}{x})$

Étape 3.2.10.2

Multipliez $\frac{x + 5}{x + 1}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3 (x + 1)}{x (x + 1)} + \frac{(x + 5) x}{(x + 1) x})$

Étape 3.2.10.3

Réorganisez les facteurs de $(x + 1) x$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3 (x + 1)}{x (x + 1)} + \frac{(x + 5) x}{x (x + 1)})$

Étape 3.2.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} \cdot \frac{3 (x + 1) + (x + 5) x}{x (x + 1)}$

Étape 3.2.12

Multipliez $\frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)}$ par $\frac{3 (x + 1) + (x + 5) x}{x (x + 1)}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{3 (x + 1) + (x + 5) x}{(x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)) (x (x + 1))}$

Étape 3.2.13

Simplifiez

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Étape 3.2.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 \cdot 1 + (x + 5) x}{(x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)) x (x + 1)}$

Étape 3.2.13.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 \cdot 1 + x \cdot x + 5 x}{(x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)) x (x + 1)}$

Étape 3.2.13.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 \cdot 1 + x \cdot x + 5 x}{(x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

Étape 3.2.13.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.13.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.13.4.1.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 + x \cdot x + 5 x}{(x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

Étape 3.2.13.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 + x^{2} + 5 x}{(x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

Étape 3.2.13.4.2

Additionnez $3 x$ et $5 x$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

Étape 3.2.13.5

Associez des termes.

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Étape 3.2.13.5.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x^{1} x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

Étape 3.2.13.5.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x^{1} x^{1} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

Étape 3.2.13.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x^{1 + 1} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

Étape 3.2.13.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x^{2} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

Étape 3.2.13.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x^{2} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x)}$

Étape 3.2.13.7

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x$ .

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Étape 3.2.13.7.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x)}$

Étape 3.2.13.7.2

Factorisez $x$ à partir de $3 \ln (x) x$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x \cdot x + x (3 \ln (x)) + 4 \ln (x + 1) x)}$

Étape 3.2.13.7.3

Factorisez $x$ à partir de $4 \ln (x + 1) x$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x \cdot x + x (3 \ln (x)) + x (4 \ln (x + 1)))}$

Étape 3.2.13.7.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x (3 \ln (x))$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x (x + 3 \ln (x)) + x (4 \ln (x + 1)))}$

Étape 3.2.13.7.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x + 3 \ln (x)) + x (4 \ln (x + 1))$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)))}$

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) x (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))}$

Étape 3.2.13.8

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) x (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))}$

Étape 4

Isolez $x'$ et remplacez la fonction d’origine pour $x$ du côté droit.

$x' = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))} \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

Étape 5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1.1

Associez les exposants.

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Étape 5.1.1.1

Simplifiez $3 \ln (x)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$x' = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3}) + 4 \ln (x + 1))} \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

Étape 5.1.1.2

Simplifiez $4 \ln (x + 1)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$x' = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4}))} \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

Étape 5.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x' = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))} \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

Étape 5.2

Associez $\frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))}$ et $\ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$ .

$x' = \frac{(x^{2} + 8 x + 3) \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))}$

Étape 5.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{(x^{2} + 8 x + 3) \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))}$ .

$x' = \frac{\ln (x^{3} e^{x} {(x + 1)}^{4}) (x^{2} + 8 x + 3)}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))}$