Calcul infinitésimal Exemples

${(x + x y + y)}^{3}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x + x y + y$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + x y + y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + x y + y]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + x y + y]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + x y + y$ .

$3 {(x + x y + y)}^{2} \frac{d}{d x} [x + x y + y]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + x y + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 {(x + x y + y)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 {(x + x y + y)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(x + x y + y)}^{2} (1 + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 {(x + x y + y)}^{2} (1 + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$3 {(x + x y + y)}^{2} (1 + y + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.6

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 {(x + x y + y)}^{2} (1 + y + 0)$

Étape 2.7

Additionnez $1 + y$ et $0$ .

$3 {(x + x y + y)}^{2} (1 + y)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 {(x + x y + y)}^{2} \cdot 1 + 3 {(x + x y + y)}^{2} y$

Étape 3.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 {(x + x y + y)}^{2} + 3 {(x + x y + y)}^{2} y$

Étape 3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 {(x + x y + y)}^{2} + 3 y {(x + x y + y)}^{2}$