Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x}{y^{3}} = 1$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (\frac{x}{y^{3}}) = \frac{d}{d y} (1)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ est $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ où $f (y) = x$ et $g (y) = y^{3}$ .

$\frac{y^{3} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [y^{3}]}{{(y^{3})}^{2}}$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{3})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{3} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [y^{3}]}{y^{3 \cdot 2}}$

Étape 2.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{y^{3} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [y^{3}]}{y^{6}}$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$\frac{y^{3} x' - x \frac{d}{d y} [y^{3}]}{y^{6}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{y^{3} x' - x (3 y^{2})}{y^{6}}$

Étape 2.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.5.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{y^{3} x' - 3 x y^{2}}{y^{6}}$

Étape 2.5.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{3} x' - 3 x y^{2}$ .

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Étape 2.5.2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{3} x'$ .

$\frac{y^{2} (y x') - 3 x y^{2}}{y^{6}}$

Étape 2.5.2.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $- 3 x y^{2}$ .

$\frac{y^{2} (y x') + y^{2} (- 3 x)}{y^{6}}$

Étape 2.5.2.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} (y x') + y^{2} (- 3 x)$ .

$\frac{y^{2} (y x' - 3 x)}{y^{6}}$

Étape 2.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{6}$ .

$\frac{y^{2} (y x' - 3 x)}{y^{2} y^{4}}$

Étape 2.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} (y x' - 3 x)}{y^{2} y^{4}}$

Étape 2.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y x' - 3 x}{y^{4}}$

Étape 3

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{y x' - 3 x}{y^{4}} = 0$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$y x' - 3 x = 0$

Étape 5.2

Résolvez l’équation pour $x'$ .

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Étape 5.2.1

Ajoutez $3 x$ aux deux côtés de l’équation.

$y x' = 3 x$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $y x' = 3 x$ par $y$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $y x' = 3 x$ par $y$ .

$\frac{y x'}{y} = \frac{3 x}{y}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y x'}{y} = \frac{3 x}{y}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{3 x}{y}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{3 x}{y}$