Calcul infinitésimal Exemples

$\int (7 + t) \sqrt{t} d t$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (7 + t) t^{\frac{1}{2}} d t$

Étape 2

Développez $(7 + t) t^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int 7 t^{\frac{1}{2}} + t \cdot t^{\frac{1}{2}} d t$

Étape 2.2

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\int 7 t^{\frac{1}{2}} + t^{1} t^{\frac{1}{2}} d t$

Étape 2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 7 t^{\frac{1}{2}} + t^{1 + \frac{1}{2}} d t$

Étape 2.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int 7 t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d t$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int 7 t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 + 1}{2}} d t$

Étape 2.6

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int 7 t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{3}{2}} d t$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 7 t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Étape 4

Comme $7$ est constant par rapport à $t$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$7 \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$7 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$7 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $t^{\frac{3}{2}}$ .

$7 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 7.2

Simplifiez

$\frac{14 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 7.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{14}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$