Calcul infinitésimal Exemples

$\int (\frac{x^{6} + 5 x^{9} - 4}{x^{3}}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int \frac{x^{6} + 5 x^{9} - 4}{x^{3}} d x$

Étape 2

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (x^{6} + 5 x^{9} - 4) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{6} + 5 x^{9} - 4) x^{3 \cdot - 1} d x$

Étape 3.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\int (x^{6} + 5 x^{9} - 4) x^{- 3} d x$

Étape 4

Développez $(x^{6} + 5 x^{9} - 4) x^{- 3}$ .

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (x^{6} + 5 x^{9}) x^{- 3} - 4 x^{- 3} d x$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{6} x^{- 3} + 5 x^{9} x^{- 3} - 4 x^{- 3} d x$

Étape 4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{6 - 3} + 5 x^{9} x^{- 3} - 4 x^{- 3} d x$

Étape 4.4

Soustrayez $3$ de $6$ .

$\int x^{3} + 5 x^{9} x^{- 3} - 4 x^{- 3} d x$

Étape 4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{3} + 5 x^{9 - 3} - 4 x^{- 3} d x$

Étape 4.6

Soustrayez $3$ de $9$ .

$\int x^{3} + 5 x^{6} - 4 x^{- 3} d x$

Étape 4.7

Remettez dans l’ordre $x^{3}$ et $5 x^{6}$ .

$\int 5 x^{6} + x^{3} - 4 x^{- 3} d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 5 x^{6} d x + \int x^{3} d x + \int - 4 x^{- 3} d x$

Étape 6

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int x^{6} d x + \int x^{3} d x + \int - 4 x^{- 3} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$5 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + \int x^{3} d x + \int - 4 x^{- 3} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$5 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + \frac{1}{4} x^{4} + C + \int - 4 x^{- 3} d x$

Étape 9

Associez $\frac{1}{7}$ et $x^{7}$ .

$5 (\frac{x^{7}}{7} + C) + \frac{1}{4} x^{4} + C + \int - 4 x^{- 3} d x$

Étape 10

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{x^{7}}{7} + C) + \frac{1}{4} x^{4} + C - 4 \int x^{- 3} d x$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$5 (\frac{x^{7}}{7} + C) + \frac{1}{4} x^{4} + C - 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Étape 12

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Étape 12.1

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Étape 12.1.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$5 (\frac{x^{7}}{7} + C) + \frac{1}{4} x^{4} + C - 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Étape 12.1.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (\frac{x^{7}}{7} + C) + \frac{1}{4} x^{4} + C - 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Étape 12.2

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$\frac{5 x^{7}}{7} + \frac{x^{4}}{4} - 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Étape 12.3

Simplifiez

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Étape 12.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$\frac{5 x^{7}}{7} + \frac{x^{4}}{4} + 4 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Étape 12.3.2

Associez $4$ et $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{5 x^{7}}{7} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{4}{2 x^{2}} + C$

Étape 12.3.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 12.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{5 x^{7}}{7} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{2 \cdot 2}{2 x^{2}} + C$

Étape 12.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{5 x^{7}}{7} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{2 \cdot 2}{2 (x^{2})} + C$

Étape 12.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x^{7}}{7} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{2 \cdot 2}{2 x^{2}} + C$

Étape 12.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 x^{7}}{7} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{2}{x^{2}} + C$

Étape 12.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{5}{7} x^{7} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{2}{x^{2}} + C$