Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 x} - \sqrt{6 - x}}{4 + x^{2}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x} - \sqrt{6 - x}}{lim_{x \to 2} 4 + x^{2}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x} - lim_{x \to 2} \sqrt{6 - x}}{lim_{x \to 2} 4 + x^{2}}$

Étape 3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x} - lim_{x \to 2} \sqrt{6 - x}}{lim_{x \to 2} 4 + x^{2}}$

Étape 4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} \sqrt{6 - x}}{lim_{x \to 2} 4 + x^{2}}$

Étape 5

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - \sqrt{lim_{x \to 2} 6 - x}}{lim_{x \to 2} 4 + x^{2}}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - \sqrt{lim_{x \to 2} 6 - lim_{x \to 2} x}}{lim_{x \to 2} 4 + x^{2}}$

Étape 7

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - \sqrt{6 - lim_{x \to 2} x}}{lim_{x \to 2} 4 + x^{2}}$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - \sqrt{6 - lim_{x \to 2} x}}{lim_{x \to 2} 4 + lim_{x \to 2} x^{2}}$

Étape 9

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - \sqrt{6 - lim_{x \to 2} x}}{4 + lim_{x \to 2} x^{2}}$

Étape 10

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - \sqrt{6 - lim_{x \to 2} x}}{4 + {(lim_{x \to 2} x)}^{2}}$

Étape 11

Évaluez les limites en insérant $2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 11.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - \sqrt{6 - lim_{x \to 2} x}}{4 + {(lim_{x \to 2} x)}^{2}}$

Étape 11.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - \sqrt{6 - 2}}{4 + {(lim_{x \to 2} x)}^{2}}$

Étape 11.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - \sqrt{6 - 2}}{4 + 2^{2}}$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{4} - \sqrt{6 - 2}}{4 + 2^{2}}$

Étape 12.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} - \sqrt{6 - 2}}{4 + 2^{2}}$

Étape 12.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2 - \sqrt{6 - 2}}{4 + 2^{2}}$

Étape 12.1.4

Soustrayez $2$ de $6$ .

$\frac{2 - \sqrt{4}}{4 + 2^{2}}$

Étape 12.1.5

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2^{2}}}{4 + 2^{2}}$

Étape 12.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{4 + 2^{2}}$

Étape 12.1.7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 - 2}{4 + 2^{2}}$

Étape 12.1.8

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0}{4 + 2^{2}}$

Étape 12.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{4 + 4}$

Étape 12.2.2

Additionnez $4$ et $4$ .

$\frac{0}{8}$

Étape 12.3

Divisez $0$ par $8$ .

$0$