Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} + 4 x - 39}{x^{2} - 9}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 4 x - 39}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 39}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Étape 1.1.2.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 39}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Étape 1.1.2.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 39}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Étape 1.1.2.4

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 39}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Étape 1.1.2.5

Évaluez la limite de $39$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 39}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Étape 1.1.2.6

Évaluez les limites en insérant $3$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{3 \cdot 3^{2} + 4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 39}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Étape 1.1.2.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{3 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 1 \cdot 39}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Étape 1.1.2.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.7.1.1

Multipliez $3$ par $3^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.2.7.1.1.1

Multipliez $3$ par $3^{2}$ .

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Étape 1.1.2.7.1.1.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$\frac{3^{1} \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 1 \cdot 39}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Étape 1.1.2.7.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3^{1 + 2} + 4 \cdot 3 - 1 \cdot 39}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Étape 1.1.2.7.1.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{3^{3} + 4 \cdot 3 - 1 \cdot 39}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Étape 1.1.2.7.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{27 + 4 \cdot 3 - 1 \cdot 39}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Étape 1.1.2.7.1.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{27 + 12 - 1 \cdot 39}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Étape 1.1.2.7.1.4

Multipliez $- 1$ par $39$ .

$\frac{27 + 12 - 39}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Étape 1.1.2.7.2

Additionnez $27$ et $12$ .

$\frac{39 - 39}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Étape 1.1.2.7.3

Soustrayez $39$ de $39$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 9}$

Étape 1.1.3.1.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 9}$

Étape 1.1.3.1.3

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 9}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{0}{3^{2} - 1 \cdot 9}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{0}{9 - 9}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $9$ de $9$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} + 4 x - 39}{x^{2} - 9} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 4 x - 39]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 4 x - 39]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 4 x - 39$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 39]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 39]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 39]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 39]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

Étape 1.3.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{6 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 39]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{6 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 39]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{6 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 39]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{6 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 39]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

Étape 1.3.5

Comme $- 39$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 39$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{6 x + 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

Étape 1.3.6

Additionnez $6 x + 4$ et $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{6 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

Étape 1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{6 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{6 x + 4}{2 x + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Étape 1.3.9

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{6 x + 4}{2 x + 0}$

Étape 1.3.10

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{6 x + 4}{2 x}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun à $6 x + 4$ et $2$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 (3 x) + 4}{2 x}$

Étape 1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 (3 x) + 2 \cdot 2}{2 x}$

Étape 1.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x) + 2 (2)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 (3 x + 2)}{2 x}$

Étape 1.4.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 (3 x + 2)}{2 (x)}$

Étape 1.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 3} \frac{2 (3 x + 2)}{2 x}$

Étape 1.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 3} \frac{3 x + 2}{x}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} 3 x + 2}{lim_{x \to 3} x}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} 3 x + lim_{x \to 3} 2}{lim_{x \to 3} x}$

Étape 2.3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 2}{lim_{x \to 3} x}$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{3 lim_{x \to 3} x + 2}{lim_{x \to 3} x}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $3$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{3 \cdot 3 + 2}{lim_{x \to 3} x}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{3 \cdot 3 + 2}{3}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{9 + 2}{3}$

Étape 4.2

Additionnez $9$ et $2$ .

$\frac{11}{3}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{11}{3}$

Forme décimale :

$3.\overline{6}$