Calcul infinitésimal Exemples

${(3 - 5 x)}^{5}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = 3 - 5 x$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 - 5 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [3 - 5 x]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [3 - 5 x]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 - 5 x$ .

$5 {(3 - 5 x)}^{4} \frac{d}{d x} [3 - 5 x]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$5 {(3 - 5 x)}^{4} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Étape 1.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 {(3 - 5 x)}^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Étape 1.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$5 {(3 - 5 x)}^{4} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 1.2.4

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(3 - 5 x)}^{4} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.5

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$- 25 {(3 - 5 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 25 {(3 - 5 x)}^{4} \cdot 1$

Étape 1.2.7

Multipliez $- 25$ par $1$ .

$f' (x) = - 25 {(3 - 5 x)}^{4}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $- 25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 25 {(3 - 5 x)}^{4}$ par rapport à $x$ est $- 25 \frac{d}{d x} [{(3 - 5 x)}^{4}]$ .

$- 25 \frac{d}{d x} [{(3 - 5 x)}^{4}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = 3 - 5 x$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 - 5 x$ .

$- 25 (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 25 (4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 - 5 x$ .

$- 25 (4 {(3 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez $4$ par $- 25$ .

$- 100 ({(3 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$- 100 {(3 - 5 x)}^{3} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Étape 2.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 100 {(3 - 5 x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Étape 2.3.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$- 100 {(3 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 2.3.5

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 100 {(3 - 5 x)}^{3} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.6

Multipliez $- 5$ par $- 100$ .

$500 {(3 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$500 {(3 - 5 x)}^{3} \cdot 1$

Étape 2.3.8

Multipliez $500$ par $1$ .

$f'' (x) = 500 {(3 - 5 x)}^{3}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $500$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $500 {(3 - 5 x)}^{3}$ par rapport à $x$ est $500 \frac{d}{d x} [{(3 - 5 x)}^{3}]$ .

$500 \frac{d}{d x} [{(3 - 5 x)}^{3}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 3 - 5 x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 - 5 x$ .

$500 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$500 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 - 5 x$ .

$500 (3 {(3 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Multipliez $3$ par $500$ .

$1500 ({(3 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$1500 {(3 - 5 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Étape 3.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1500 {(3 - 5 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Étape 3.3.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$1500 {(3 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 3.3.5

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1500 {(3 - 5 x)}^{2} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.6

Multipliez $- 5$ par $1500$ .

$- 7500 {(3 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 7500 {(3 - 5 x)}^{2} \cdot 1$

Étape 3.3.8

Multipliez $- 7500$ par $1$ .

$f''' (x) = - 7500 {(3 - 5 x)}^{2}$