Calcul infinitésimal Exemples

$f (r) = \frac{3}{1 + r^{2}} - \sqrt[5]{r^{4}}$

Étape 1

La fonction $F (r)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (r)$ .

$F (r) = \int f (r) d r$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (r) = \int \frac{3}{1 + r^{2}} - \sqrt[5]{r^{4}} d r$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{3}{1 + r^{2}} d r + \int - \sqrt[5]{r^{4}} d r$

Étape 4

Comme $3$ est constant par rapport à $r$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int \frac{1}{1 + r^{2}} d r + \int - \sqrt[5]{r^{4}} d r$

Étape 5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$3 \int \frac{1}{1^{2} + r^{2}} d r + \int - \sqrt[5]{r^{4}} d r$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + r^{2}}$ par rapport à $r$ est $\arctan (r) + C$ .

$3 (\arctan (r) + C) + \int - \sqrt[5]{r^{4}} d r$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $r$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\arctan (r) + C) - \int \sqrt[5]{r^{4}} d r$

Étape 8

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{r^{4}}$ comme $r^{\frac{4}{5}}$ .

$3 (\arctan (r) + C) - \int r^{\frac{4}{5}} d r$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $r^{\frac{4}{5}}$ par rapport à $r$ est $\frac{5}{9} r^{\frac{9}{5}}$ .

$3 (\arctan (r) + C) - (\frac{5}{9} r^{\frac{9}{5}} + C)$

Étape 10

Simplifiez

$3 \arctan (r) - \frac{5}{9} r^{\frac{9}{5}} + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (r) = \frac{3}{1 + r^{2}} - \sqrt[5]{r^{4}}$ .

$F (r) =$ $3 \arctan (r) - \frac{5}{9} r^{\frac{9}{5}} + C$