Calcul infinitésimal Exemples

$\int x {(2 x - 1)}^{7} d x$

Étape 1

L’intégrale n’a pas pu être terminée en utilisant l’intégration par parties. Mathway utilisera une autre méthode.

Étape 2

Laissez $u = 2 x - 1$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 2 x - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 2.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) u^{7} \frac{1}{2} d u$

Étape 3

Associez $\frac{1}{2}$ et $u^{7}$ .

$\int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) \frac{u^{7}}{2} d u$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{7}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{7}}{2} d u$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{u}{2}$ par $\frac{u^{7}}{2}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{7}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{7}}{2} d u$

Étape 4.3

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{7}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{7}}{2} d u$

Étape 4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{u^{1 + 7}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{7}}{2} d u$

Étape 4.5

Additionnez $1$ et $7$ .

$\int \frac{u^{8}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{7}}{2} d u$

Étape 4.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int \frac{u^{8}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{7}}{2} d u$

Étape 4.7

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{u^{7}}{2}$ .

$\int \frac{u^{8}}{4} + \frac{u^{7}}{2 \cdot 2} d u$

Étape 4.8

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int \frac{u^{8}}{4} + \frac{u^{7}}{4} d u$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{u^{8}}{4} d u + \int \frac{u^{7}}{4} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int u^{8} d u + \int \frac{u^{7}}{4} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{8}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{9} u^{9} + C) + \int \frac{u^{7}}{4} d u$

Étape 8

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{9} u^{9} + C) + \frac{1}{4} \int u^{7} d u$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{7}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{9} u^{9} + C) + \frac{1}{4} (\frac{1}{8} u^{8} + C)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{9} u^{9} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$

Étape 10.2

Simplifiez

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Étape 10.2.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 9} u^{9} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$

Étape 10.2.2

Multipliez $4$ par $9$ .

$\frac{1}{36} u^{9} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$

Étape 10.2.3

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{36} u^{9} + \frac{1}{4 \cdot 8} u^{8} + C$

Étape 10.2.4

Multipliez $4$ par $8$ .

$\frac{1}{36} u^{9} + \frac{1}{32} u^{8} + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 1$ .

$\frac{1}{36} {(2 x - 1)}^{9} + \frac{1}{32} {(2 x - 1)}^{8} + C$