Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{2 + 5 x}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{x}{x}}{\frac{2}{x} + \frac{5 x}{x}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{x}{x}}{\frac{2}{x} + \frac{5 x}{x}}$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - 1 \cdot 1}{\frac{2}{x} + \frac{5 x}{x}}$

Étape 2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - 1}{\frac{2}{x} + \frac{5 x}{x}}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - 1}{\frac{2}{x} + \frac{5 x}{x}}$

Étape 2.2.2

Divisez $5$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - 1}{\frac{2}{x} + 5}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + 5}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + 5}$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{0 - lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + 5}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + 5}$

Étape 4.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} 5}$

Étape 4.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} 5}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{2 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} 5}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{2 \cdot 0 + 5}$

Étape 6.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0 - 1}{2 \cdot 0 + 5}$

Étape 6.2.1.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{- 1}{2 \cdot 0 + 5}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{- 1}{0 + 5}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $0$ et $5$ .

$\frac{- 1}{5}$

Étape 6.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{5}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{5}$

Forme décimale :

$- 0.2$