Calcul infinitésimal Exemples

$y' = 3 x^{2}$ , $y = x^{3} - 4 + c$ , $y (0) = 5$

Étape 1

Vérifiez que la solution donnée respecte l’équation différentielle.

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Étape 1.1

Déterminez $y'$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3} - 4 + c)$

Étape 1.1.2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 1.1.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 4 + c$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]$

Étape 1.1.3.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [c]$

Étape 1.1.3.4

Comme $c$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $c$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + 0 + 0$

Étape 1.1.3.5

Associez des termes.

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Étape 1.1.3.5.1

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Étape 1.1.3.5.2

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$3 x^{2}$

Étape 1.1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 3 x^{2}$

Étape 1.2

Remplacez dans l’équation différentielle donnée.

$3 x^{2} = 3 x^{2}$

Étape 1.3

La solution donnée respecte l’équation différentielle donnée.

$y = x^{3} - 4 + c$ est une solution à $y' = 3 x^{2}$

Étape 2

Remplacez dans la condition initiale.

$5 = 0^{3} - 4 + c$

Étape 3

Résolvez $c$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $0^{3} - 4 + c = 5$ .

$0^{3} - 4 + c = 5$

Étape 3.2

Simplifiez $0^{3} - 4 + c$ .

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Étape 3.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 4 + c = 5$

Étape 3.2.2

Soustrayez $4$ de $0$ .

$- 4 + c = 5$

Étape 3.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $c$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$c = 5 + 4$

Étape 3.3.2

Additionnez $5$ et $4$ .

$c = 9$