Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 4} \frac{- 5 x^{2} + 21 x - 4}{24 - 6 x}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 4} - 5 x^{2} + 21 x - 4}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{- lim_{x \to 4} 5 x^{2} + lim_{x \to 4} 21 x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

Étape 1.1.2.2

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 5 lim_{x \to 4} x^{2} + lim_{x \to 4} 21 x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

Étape 1.1.2.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{- 5 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} + lim_{x \to 4} 21 x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

Étape 1.1.2.4

Placez le terme $21$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 5 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 21 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

Étape 1.1.2.5

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{- 5 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 21 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

Étape 1.1.2.6

Évaluez les limites en insérant $4$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\frac{- 5 \cdot 4^{2} + 21 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

Étape 1.1.2.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\frac{- 5 \cdot 4^{2} + 21 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

Étape 1.1.2.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.7.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 5 \cdot 16 + 21 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

Étape 1.1.2.7.1.2

Multipliez $- 5$ par $16$ .

$\frac{- 80 + 21 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

Étape 1.1.2.7.1.3

Multipliez $21$ par $4$ .

$\frac{- 80 + 84 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

Étape 1.1.2.7.1.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{- 80 + 84 - 4}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

Étape 1.1.2.7.2

Additionnez $- 80$ et $84$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

Étape 1.1.2.7.3

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} 24 - lim_{x \to 4} 6 x}$

Étape 1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $24$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{0}{24 - lim_{x \to 4} 6 x}$

Étape 1.1.3.1.3

Placez le terme $6$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{24 - 6 lim_{x \to 4} x}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\frac{0}{24 - 6 \cdot 4}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$\frac{0}{24 - 24}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $24$ de $24$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 4} \frac{- 5 x^{2} + 21 x - 4}{24 - 6 x} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 21 x - 4]}{\frac{d}{d x} [24 - 6 x]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 21 x - 4]}{\frac{d}{d x} [24 - 6 x]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 5 x^{2} + 21 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [21 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [21 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [24 - 6 x]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [21 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [24 - 6 x]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [21 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [24 - 6 x]}$

Étape 1.3.3.3

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 10 x + \frac{d}{d x} [21 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [24 - 6 x]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [21 x]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $21$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $21 x$ par rapport à $x$ est $21 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 10 x + 21 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [24 - 6 x]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 10 x + 21 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [24 - 6 x]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $21$ par $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 10 x + 21 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [24 - 6 x]}$

Étape 1.3.5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 10 x + 21 + 0}{\frac{d}{d x} [24 - 6 x]}$

Étape 1.3.6

Additionnez $- 10 x + 21$ et $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 10 x + 21}{\frac{d}{d x} [24 - 6 x]}$

Étape 1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $24 - 6 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 10 x + 21}{\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 6 x]}$

Étape 1.3.8

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 10 x + 21}{0 + \frac{d}{d x} [- 6 x]}$

Étape 1.3.9

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Étape 1.3.9.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 10 x + 21}{0 - 6 \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.9.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 10 x + 21}{0 - 6 \cdot 1}$

Étape 1.3.9.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 10 x + 21}{0 - 6}$

Étape 1.3.10

Soustrayez $6$ de $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 10 x + 21}{- 6}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $\frac{1}{- 6}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 6} lim_{x \to 4} - 10 x + 21$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{1}{- 6} (- lim_{x \to 4} 10 x + lim_{x \to 4} 21)$

Étape 2.3

Placez le terme $10$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 6} (- 10 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 21)$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $21$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{1}{- 6} (- 10 lim_{x \to 4} x + 21)$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 6} (- 10 \cdot 4 + 21)$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{6} (- 10 \cdot 4 + 21)$

Étape 4.2

Multipliez $- 10$ par $4$ .

$- \frac{1}{6} (- 40 + 21)$

Étape 4.3

Additionnez $- 40$ et $21$ .

$- \frac{1}{6} \cdot - 19$

Étape 4.4

Multipliez $- \frac{1}{6} \cdot - 19$ .

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Étape 4.4.1

Multipliez $- 19$ par $- 1$ .

$19 (\frac{1}{6})$

Étape 4.4.2

Associez $19$ et $\frac{1}{6}$ .

$\frac{19}{6}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{19}{6}$

Forme décimale :

$3.1\overline{6}$