Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 1}^{3} - \frac{3}{32} x^{2} + \frac{3}{16} x + \frac{9}{32} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 1}^{3} - \frac{3}{32} x^{2} d x + \int_{- 1}^{3} \frac{3}{16} x d x + \int_{- 1}^{3} \frac{9}{32} d x$

Étape 2

Comme $- \frac{3}{32}$ est constant par rapport à $x$ , placez $- \frac{3}{32}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{3}{32} \int_{- 1}^{3} x^{2} d x + \int_{- 1}^{3} \frac{3}{16} x d x + \int_{- 1}^{3} \frac{9}{32} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{3}{32} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{3} + \int_{- 1}^{3} \frac{3}{16} x d x + \int_{- 1}^{3} \frac{9}{32} d x$

Étape 4

Comme $\frac{3}{16}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{3}{16}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{3}{32} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{3} + \frac{3}{16} \int_{- 1}^{3} x d x + \int_{- 1}^{3} \frac{9}{32} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{3}{32} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{3} + \frac{3}{16} \frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{3} + \int_{- 1}^{3} \frac{9}{32} d x$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$- \frac{3}{32} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{3} + \frac{3}{16} \frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{3} + \frac{9}{32} x]_{- 1}^{3}$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3}$ sur $3$ et sur $- 1$ .

$- \frac{3}{32} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) + \frac{3}{16} \frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{3} + \frac{9}{32} x]_{- 1}^{3}$

Étape 7.2

Évaluez $\frac{1}{2} x^{2}$ sur $3$ et sur $- 1$ .

$- \frac{3}{32} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + \frac{9}{32} x]_{- 1}^{3}$

Étape 7.3

Évaluez $\frac{9}{32} x$ sur $3$ et sur $- 1$ .

$- \frac{3}{32} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4

Simplifiez

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Étape 7.4.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- \frac{3}{32} (\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $27$ .

$- \frac{3}{32} (\frac{27}{3} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.3

Annulez le facteur commun à $27$ et $3$ .

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Étape 7.4.3.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$- \frac{3}{32} (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.4.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- \frac{3}{32} (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3}{32} (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3}{32} (\frac{9}{1} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.3.2.4

Divisez $9$ par $1$ .

$- \frac{3}{32} (9 - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.4

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- \frac{3}{32} (9 - \frac{1}{3} \cdot - 1) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{3}{32} (9 + 1 (\frac{1}{3})) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.6

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$- \frac{3}{32} (9 + \frac{1}{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.7

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{3}{32} (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.8

Associez $9$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{3}{32} (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{3}{32} \cdot \frac{9 \cdot 3 + 1}{3} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.10.1

Multipliez $9$ par $3$ .

$- \frac{3}{32} \cdot \frac{27 + 1}{3} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.10.2

Additionnez $27$ et $1$ .

$- \frac{3}{32} \cdot \frac{28}{3} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.11

Multipliez $\frac{28}{3}$ par $\frac{3}{32}$ .

$- \frac{28 \cdot 3}{3 \cdot 32} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.12

Multipliez $28$ par $3$ .

$- \frac{84}{3 \cdot 32} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.13

Multipliez $3$ par $32$ .

$- \frac{84}{96} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.14

Annulez le facteur commun à $84$ et $96$ .

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Étape 7.4.14.1

Factorisez $12$ à partir de $84$ .

$- \frac{12 (7)}{96} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.4.14.2.1

Factorisez $12$ à partir de $96$ .

$- \frac{12 \cdot 7}{12 \cdot 8} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{12 \cdot 7}{12 \cdot 8} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.15

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.16

Associez $\frac{1}{2}$ et $9$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.17

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.18

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} \cdot \frac{9 - 1}{2} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.20

Soustrayez $1$ de $9$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} \cdot \frac{8}{2} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.21

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 7.4.21.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.21.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.4.21.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.21.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.21.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} \cdot \frac{4}{1} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.21.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} \cdot 4 + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.22

Associez $\frac{3}{16}$ et $4$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{3 \cdot 4}{16} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.23

Multipliez $3$ par $4$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{12}{16} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.24

Annulez le facteur commun à $12$ et $16$ .

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Étape 7.4.24.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{4 (3)}{16} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.24.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.4.24.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.24.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{7}{8} + \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.24.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{4} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.25

Pour écrire $\frac{3}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{2} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.26

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.4.26.1

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.26.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{3 \cdot 2}{8} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.27

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 7 + 3 \cdot 2}{8} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.28

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.28.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{- 7 + 6}{8} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.28.2

Additionnez $- 7$ et $6$ .

$\frac{- 1}{8} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.29

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{8} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.30

Associez $\frac{9}{32}$ et $3$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{9 \cdot 3}{32} - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.31

Multipliez $9$ par $3$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{27}{32} - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Étape 7.4.32

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{27}{32} + 1 (\frac{9}{32})$

Étape 7.4.33

Multipliez $\frac{9}{32}$ par $1$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{27}{32} + \frac{9}{32}$

Étape 7.4.34

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{8} + \frac{27 + 9}{32}$

Étape 7.4.35

Additionnez $27$ et $9$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{36}{32}$

Étape 7.4.36

Annulez le facteur commun à $36$ et $32$ .

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Étape 7.4.36.1

Factorisez $4$ à partir de $36$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{4 (9)}{32}$

Étape 7.4.36.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.4.36.2.1

Factorisez $4$ à partir de $32$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}$

Étape 7.4.36.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{8} + \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}$

Étape 7.4.36.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{8} + \frac{9}{8}$

Étape 7.4.37

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 + 9}{8}$

Étape 7.4.38

Additionnez $- 1$ et $9$ .

$\frac{8}{8}$

Étape 7.4.39

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 7.4.39.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8}{8}$

Étape 7.4.39.2

Réécrivez l’expression.

$1$

Étape 8