Calcul infinitésimal Exemples

$y = arcsec (\sqrt{3 x^{3}})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 x^{3}}$ comme ${(3 x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = arcsec ({(3 x^{3})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (arcsec ({(3 x^{3})}^{\frac{1}{2}}))$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [arcsec ({(3 (x^{3}))}^{\frac{1}{2}})]$

Étape 4.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $3 (x^{3})$ .

$\frac{d}{d x} [arcsec (3^{\frac{1}{2}} {(x^{3})}^{\frac{1}{2}})]$

Étape 4.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [arcsec (3^{\frac{1}{2}} x^{3 (\frac{1}{2})})]$

Étape 4.1.2.2.2

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [arcsec (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = arcsec (x)$ et $g (x) = 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 4.2.2

La dérivée de $arcsec (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 4.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{3 (\frac{1}{2})})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 4.2.3.2

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 4.3

Différenciez.

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Étape 4.3.1

Comme $3^{\frac{1}{2}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

Étape 4.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.3.2.1

Associez $3^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 4.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Étape 4.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 4.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Étape 4.7.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Étape 4.8

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 4.9

Multipliez $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$ par $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1} \cdot 2}$

Étape 4.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.10.1

Déplacez $2$ à gauche de $x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot (x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1})}$

Étape 4.10.2

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1} x^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 4.11

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.11.1

Multipliez $x^{\frac{3}{2}}$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.11.1.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Étape 4.11.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Étape 4.11.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3}{2 x^{\frac{- 1 + 3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Étape 4.11.1.4

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{2}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Étape 4.11.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{3}{2 x^{1} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Étape 4.11.2

Simplifiez $2 x^{1} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}$ .

$\frac{3}{2 x \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Étape 4.12

Simplifiez

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Étape 4.12.1

Appliquez la règle de produit à $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{2 x \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Étape 4.12.2

Associez des termes.

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Étape 4.12.2.1

Multipliez les exposants dans ${(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.12.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2 x \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Étape 4.12.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.12.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{2 x \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Étape 4.12.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{2 x \sqrt{3^{1} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Étape 4.12.2.2

Évaluez l’exposant.

$\frac{3}{2 x \sqrt{3 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Étape 4.12.2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.12.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} - 1}}$

Étape 4.12.2.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.12.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} - 1}}$

Étape 4.12.2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{3} - 1}}$

Étape 4.12.3

Multipliez $\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{3} - 1}}$ par $\frac{\sqrt{3 x^{3} - 1}}{\sqrt{3 x^{3} - 1}}$ .

$\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{3} - 1}} \cdot \frac{\sqrt{3 x^{3} - 1}}{\sqrt{3 x^{3} - 1}}$

Étape 4.12.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.12.4.1

Multipliez $\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{3} - 1}}$ par $\frac{\sqrt{3 x^{3} - 1}}{\sqrt{3 x^{3} - 1}}$ .

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x \sqrt{3 x^{3} - 1} \sqrt{3 x^{3} - 1}}$

Étape 4.12.4.2

Déplacez $\sqrt{3 x^{3} - 1}$ .

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x (\sqrt{3 x^{3} - 1} \sqrt{3 x^{3} - 1})}$

Étape 4.12.4.3

Élevez $\sqrt{3 x^{3} - 1}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x ({\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{1} \sqrt{3 x^{3} - 1})}$

Étape 4.12.4.4

Élevez $\sqrt{3 x^{3} - 1}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x ({\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{1} {\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{1})}$

Étape 4.12.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{1 + 1}}$

Étape 4.12.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{2}}$

Étape 4.12.4.7

Réécrivez ${\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{2}$ comme $3 x^{3} - 1$ .

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Étape 4.12.4.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 x^{3} - 1}$ comme ${(3 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {({(3 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.12.4.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {(3 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.12.4.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {(3 x^{3} - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.12.4.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.12.4.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {(3 x^{3} - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.12.4.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {(3 x^{3} - 1)}^{1}}$

Étape 4.12.4.7.5

Simplifiez

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x (3 x^{3} - 1)}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x (3 x^{3} - 1)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x (3 x^{3} - 1)}$