Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 1}^{1} (1 + \sqrt{1 - x^{2}}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{- 1}^{1} 1 + \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 1}^{1} d x + \int_{- 1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Étape 4

Laissez $x = \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ est positif.

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Simplifiez $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Étape 5.1.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Étape 5.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (t) \cos (t) d t$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

Étape 5.2.2

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

Étape 5.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Étape 5.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Étape 6

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (t)$ en $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Étape 10

Laissez $u = 2 t$ . Alors $d u = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 10.1

Laissez $u = 2 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 10.1.1

Différenciez $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 10.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 10.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 10.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 10.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Étape 10.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{2}$ dans le numérateur.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Étape 10.3.2

Annulez le facteur commun.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Étape 10.3.3

Réécrivez l’expression.

$u_{lower} = - π$

Étape 10.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Étape 10.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.5.1

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Étape 10.5.2

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = π$

Étape 10.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Étape 10.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Étape 11

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Étape 12

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u) d u)$

Étape 13

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

Étape 14

Remplacez et simplifiez.

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Étape 14.1

Évaluez $x$ sur $1$ et sur $- 1$ .

$(1) + 1 + \frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

Étape 14.2

Évaluez $t$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $- \frac{π}{2}$ .

$(1) + 1 + \frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

Étape 14.3

Évaluez $\sin (u)$ sur $π$ et sur $- π$ .

$(1) + 1 + \frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Étape 14.4

Simplifiez

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Étape 14.4.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 + \frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Étape 14.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 + \frac{1}{2} (\frac{π + π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Étape 14.4.3

Additionnez $π$ et $π$ .

$2 + \frac{1}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Étape 14.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 + \frac{1}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Étape 14.4.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (- π)))$

Étape 15

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (- π)))$

Étape 15.1.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (- π)))$

Étape 15.1.1.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (0)))$

Étape 15.1.1.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - 0))$

Étape 15.1.1.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 + 0))$

Étape 15.1.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} \cdot 0)$

Étape 15.1.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$2 + \frac{1}{2} (π + 0)$

Étape 15.2

Additionnez $π$ et $0$ .

$2 + \frac{1}{2} π$

Étape 15.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $π$ .

$2 + \frac{π}{2}$

Étape 16

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$2 + \frac{π}{2}$

Forme décimale :

$3.57079632 \dots$

Étape 17