Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{6 \sqrt[4]{x}} d x$

Étape 1

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt[4]{x}} d x$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{x}$ comme $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} d x$

Étape 2.2

Retirez $x^{\frac{1}{4}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{6} \int {(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1} d x$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{6} \int x^{\frac{1}{4} \cdot - 1} d x$

Étape 2.3.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{6} \int x^{\frac{- 1}{4}} d x$

Étape 2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{6} \int x^{- \frac{1}{4}} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{4}}$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{3} x^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{4}{3} x^{\frac{3}{4}} + C)$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Réécrivez $\frac{1}{6} (\frac{4}{3} x^{\frac{3}{4}} + C)$ comme $\frac{1}{6} \cdot \frac{4}{3} x^{\frac{3}{4}} + C$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{4}{3} x^{\frac{3}{4}} + C$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{6 \cdot 3} x^{\frac{3}{4}} + C$

Étape 4.2.2

Multipliez $6$ par $3$ .

$\frac{4}{18} x^{\frac{3}{4}} + C$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $18$ .

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Étape 4.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (2)}{18} x^{\frac{3}{4}} + C$

Étape 4.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9} x^{\frac{3}{4}} + C$

Étape 4.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9} x^{\frac{3}{4}} + C$

Étape 4.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{9} x^{\frac{3}{4}} + C$