Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5} d x$

Étape 1

Laissez $u = 3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5$ . Alors $d u = (9 x^{2} + 12 x + 3) d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = (3 x^{2} + 4 x + 1) d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$9 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$9 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 1.1.5.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} + 12 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$9 x^{2} + 12 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.5.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$9 x^{2} + 12 x + 3 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.6

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.6.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$9 x^{2} + 12 x + 3 + 0$

Étape 1.1.6.2

Additionnez $9 x^{2} + 12 x + 3$ et $0$ .

$9 x^{2} + 12 x + 3$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Étape 2.2

Déplacez $3$ à gauche de $u$ .

$\int \frac{1}{3 u} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C)$

Étape 5

Simplifiez

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5 |) + C$