Calcul infinitésimal Exemples

$\int 2 x^{2} {(x + 2)}^{2} d x$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int x^{2} {(x + 2)}^{2} d x$

Étape 2

Développez $x^{2} {(x + 2)}^{2}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez ${(x + 2)}^{2}$ comme $(x + 2) (x + 2)$ .

$2 \int x^{2} ((x + 2) (x + 2)) d x$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 \int x^{2} (x (x + 2) + 2 (x + 2)) d x$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 \int x^{2} (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) d x$

Étape 2.4

Appliquez la propriété distributive.

$2 \int x^{2} (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) d x$

Étape 2.5

Appliquez la propriété distributive.

$2 \int x^{2} (x \cdot x + x \cdot 2) + x^{2} (2 x + 2 \cdot 2) d x$

Étape 2.6

Appliquez la propriété distributive.

$2 \int x^{2} (x \cdot x) + x^{2} (x \cdot 2) + x^{2} (2 x + 2 \cdot 2) d x$

Étape 2.7

Appliquez la propriété distributive.

$2 \int x^{2} (x \cdot x) + x^{2} (x \cdot 2) + x^{2} (2 x) + x^{2} (2 \cdot 2) d x$

Étape 2.8

Remettez dans l’ordre $x$ et $2$ .

$2 \int x^{2} x \cdot x + x^{2} (2 \cdot x) + x^{2} (2 x) + x^{2} (2 \cdot 2) d x$

Étape 2.9

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $2$ .

$2 \int x^{2} x \cdot x + 2 \cdot x^{2} \cdot x + x^{2} (2 x) + x^{2} (2 \cdot 2) d x$

Étape 2.10

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $2$ .

$2 \int x^{2} x \cdot x + 2 \cdot x^{2} \cdot x + 2 \cdot x^{2} x + x^{2} (2 \cdot 2) d x$

Étape 2.11

Déplacez $x^{2}$ .

$2 \int x^{2} x \cdot x + 2 \cdot x^{2} \cdot x + 2 \cdot x^{2} x + 2 \cdot 2 x^{2} d x$

Étape 2.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 \int x^{2} x^{1} x + 2 x^{2} x + 2 x^{2} x + 2 \cdot 2 x^{2} d x$

Étape 2.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \int x^{2 + 1} x + 2 x^{2} x + 2 x^{2} x + 2 \cdot 2 x^{2} d x$

Étape 2.14

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 \int x^{3} x + 2 x^{2} x + 2 x^{2} x + 2 \cdot 2 x^{2} d x$

Étape 2.15

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 \int x^{3} x^{1} + 2 x^{2} x + 2 x^{2} x + 2 \cdot 2 x^{2} d x$

Étape 2.16

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \int x^{3 + 1} + 2 x^{2} x + 2 x^{2} x + 2 \cdot 2 x^{2} d x$

Étape 2.17

Additionnez $3$ et $1$ .

$2 \int x^{4} + 2 x^{2} x + 2 x^{2} x + 2 \cdot 2 x^{2} d x$

Étape 2.18

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 \int x^{4} + 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x^{2} x + 2 \cdot 2 x^{2} d x$

Étape 2.19

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \int x^{4} + 2 x^{2 + 1} + 2 x^{2} x + 2 \cdot 2 x^{2} d x$

Étape 2.20

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 \int x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot 2 x^{2} d x$

Étape 2.21

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 \int x^{4} + 2 x^{3} + 2 (x^{2} x^{1}) + 2 \cdot 2 x^{2} d x$

Étape 2.22

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \int x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{2 + 1} + 2 \cdot 2 x^{2} d x$

Étape 2.23

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 \int x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot 2 x^{2} d x$

Étape 2.24

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 \int x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + 4 x^{2} d x$

Étape 2.25

Additionnez $2 x^{3}$ et $2 x^{3}$ .

$2 \int x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} d x$

$2 \int x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$2 (\int x^{4} d x + \int 4 x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x)$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C + \int 4 x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x)$

Étape 5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C + 4 \int x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x)$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C + 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 4 x^{2} d x)$

Étape 7

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C + 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 \int x^{2} d x)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C + 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C))$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez

$2 (\frac{x^{5}}{5} + x^{4} + \frac{4 x^{3}}{3}) + C$

Étape 9.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + x^{4} + \frac{4}{3} x^{3}) + C$

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + x^{4} + \frac{4}{3} x^{3}) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$