Calcul infinitésimal Exemples

$- \frac{1}{10} x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3}$

Étape 1

Écrivez $- \frac{1}{10} x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3}$ comme une fonction.

$f (x) = - \frac{1}{10} x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3}$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{1}{10} x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Étape 2.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$ .

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Étape 2.1.1.2.1

Comme $- \frac{1}{10}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{10} x^{5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Étape 2.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- \frac{1}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Étape 2.1.1.2.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 5 (\frac{1}{10}) x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Étape 2.1.1.2.4

Associez $- 5$ et $\frac{1}{10}$ .

$\frac{- 5}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Étape 2.1.1.2.5

Associez $\frac{- 5}{10}$ et $x^{4}$ .

$\frac{- 5 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Étape 2.1.1.2.6

Annulez le facteur commun à $- 5$ et $10$ .

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Étape 2.1.1.2.6.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5 x^{4}$ .

$\frac{5 (- x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Étape 2.1.1.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.2.6.2.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$\frac{5 (- x^{4})}{5 (2)} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Étape 2.1.1.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (- x^{4})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Étape 2.1.1.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Étape 2.1.1.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Étape 2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{x^{4}}{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Étape 2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- \frac{x^{4}}{2} - 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Étape 2.1.1.3.3

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$- \frac{x^{4}}{2} - 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Étape 2.1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

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Étape 2.1.1.4.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{x^{4}}{2} - 8 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- \frac{x^{4}}{2} - 8 x^{3} - 12 (3 x^{2})$

Étape 2.1.1.4.3

Multipliez $3$ par $- 12$ .

$f' (x) = - \frac{x^{4}}{2} - 8 x^{3} - 36 x^{2}$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{x^{4}}{2} - 8 x^{3} - 36 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Étape 2.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}]$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x^{4}}{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Étape 2.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Étape 2.1.2.2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Étape 2.1.2.2.4

Associez $- 4$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Étape 2.1.2.2.5

Associez $\frac{- 4}{2}$ et $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Étape 2.1.2.2.6

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 2.1.2.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Étape 2.1.2.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.2.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Étape 2.1.2.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Étape 2.1.2.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Étape 2.1.2.2.6.2.4

Divisez $- 2 x^{3}$ par $1$ .

$- 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Étape 2.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

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Étape 2.1.2.3.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Étape 2.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 2 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Étape 2.1.2.3.3

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$- 2 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Étape 2.1.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

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Étape 2.1.2.4.1

Comme $- 36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 36 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 x^{3} - 24 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 x^{3} - 24 x^{2} - 36 (2 x)$

Étape 2.1.2.4.3

Multipliez $2$ par $- 36$ .

$f'' (x) = - 2 x^{3} - 24 x^{2} - 72 x$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 x^{3} - 24 x^{2} - 72 x$ .

$- 2 x^{3} - 24 x^{2} - 72 x$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 2 x^{3} - 24 x^{2} - 72 x = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- 2 x^{3} - 24 x^{2} - 72 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 2 x^{3} - 24 x^{2} - 72 x$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 24 x^{2} - 72 x = 0$

Étape 2.2.2.1.2

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 24 x^{2}$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x (12 x) - 72 x = 0$

Étape 2.2.2.1.3

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 72 x$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x (12 x) - 2 x \cdot 36 = 0$

Étape 2.2.2.1.4

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 2 x (x^{2}) - 2 x (12 x)$ .

$- 2 x (x^{2} + 12 x) - 2 x \cdot 36 = 0$

Étape 2.2.2.1.5

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 2 x (x^{2} + 12 x) - 2 x (36)$ .

$- 2 x (x^{2} + 12 x + 36) = 0$

Étape 2.2.2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.2.2.2.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} + 12 x + 6^{2}) = 0$

Étape 2.2.2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$12 x = 2 \cdot x \cdot 6$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$- 2 x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

Étape 2.2.2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 6$ .

$- 2 x {(x + 6)}^{2} = 0$

Étape 2.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

${(x + 6)}^{2} = 0$

Étape 2.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.2.5

Définissez ${(x + 6)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.5.1

Définissez ${(x + 6)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

Étape 2.2.5.2

Résolvez ${(x + 6)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.5.2.1

Définissez le $x + 6$ égal à $0$ .

$x + 6 = 0$

Étape 2.2.5.2.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 2.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 2 x {(x + 6)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 0, - 6$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 6)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 8$ dans l’expression.

$f'' (- 8) = - 2 {(- 8)}^{3} - 24 {(- 8)}^{2} - 72 \cdot - 8$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 8) = - 2 \cdot - 512 - 24 {(- 8)}^{2} - 72 \cdot - 8$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 512$ .

$f'' (- 8) = 1024 - 24 {(- 8)}^{2} - 72 \cdot - 8$

Étape 5.2.1.3

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 8) = 1024 - 24 \cdot 64 - 72 \cdot - 8$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $- 24$ par $64$ .

$f'' (- 8) = 1024 - 1536 - 72 \cdot - 8$

Étape 5.2.1.5

Multipliez $- 72$ par $- 8$ .

$f'' (- 8) = 1024 - 1536 + 576$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $1536$ de $1024$ .

$f'' (- 8) = - 512 + 576$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $- 512$ et $576$ .

$f'' (- 8) = 64$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $64$ .

$64$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, - 6)$ car $f'' (- 8)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 6)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 6, 0)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f'' (- 3) = - 2 {(- 3)}^{3} - 24 {(- 3)}^{2} - 72 \cdot - 3$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 3) = - 2 \cdot - 27 - 24 {(- 3)}^{2} - 72 \cdot - 3$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 27$ .

$f'' (- 3) = 54 - 24 {(- 3)}^{2} - 72 \cdot - 3$

Étape 6.2.1.3

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 3) = 54 - 24 \cdot 9 - 72 \cdot - 3$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- 24$ par $9$ .

$f'' (- 3) = 54 - 216 - 72 \cdot - 3$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $- 72$ par $- 3$ .

$f'' (- 3) = 54 - 216 + 216$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $216$ de $54$ .

$f'' (- 3) = - 162 + 216$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $- 162$ et $216$ .

$f'' (- 3) = 54$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $54$ .

$54$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- 6, 0)$ car $f'' (- 3)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- 6, 0)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f'' (2) = - 2 {(2)}^{3} - 24 {(2)}^{2} - 72 \cdot 2$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f'' (2) = - 2 \cdot 8 - 24 {(2)}^{2} - 72 \cdot 2$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $8$ .

$f'' (2) = - 16 - 24 {(2)}^{2} - 72 \cdot 2$

Étape 7.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f'' (2) = - 16 - 24 \cdot 4 - 72 \cdot 2$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $- 24$ par $4$ .

$f'' (2) = - 16 - 96 - 72 \cdot 2$

Étape 7.2.1.5

Multipliez $- 72$ par $2$ .

$f'' (2) = - 16 - 96 - 144$

Étape 7.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 7.2.2.1

Soustrayez $96$ de $- 16$ .

$f'' (2) = - 112 - 144$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $144$ de $- 112$ .

$f'' (2) = - 256$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 256$ .

$- 256$

Étape 7.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(0, \infty)$ car $f'' (2)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(0, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 8

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 6)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le haut sur $(- 6, 0)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(0, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 9