Calcul infinitésimal Exemples

$y = (1 + x^{2}) \arctan (x) - x$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $(1 + x^{2}) \arctan (x) - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) \arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) \arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) \arctan (x)]$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 1 + x^{2}$ et $g (x) = \arctan (x)$ .

$(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \arctan (x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2

La dérivée de $\arctan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (0 + 2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.6

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x) - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x) - 1$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + 2 x \arctan (x) - 1$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $1 + x^{2}$ .

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun.

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + 2 x \arctan (x) - 1$

Étape 4.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 + 2 x \arctan (x) - 1$

Étape 4.3

Associez les termes opposés dans $1 + 2 x \arctan (x) - 1$ .

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Étape 4.3.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$2 x \arctan (x) + 0$

Étape 4.3.2

Additionnez $2 x \arctan (x)$ et $0$ .

$2 x \arctan (x)$