Calcul infinitésimal Exemples

$\int 2 x (4 x + 5) (2 x + 1) d x$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int (x (4 x + 5)) (2 x + 1) d x$

Étape 2

Laissez $u = 2 x + 1$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 2 x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 2.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

$2$

$2$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 \int (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) (4 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) + 5) u \frac{1}{2} d u$

$2 \int (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) (4 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) + 5) u \frac{1}{2} d u$

Étape 3

Associez $\frac{1}{2}$ et $u$ .

$2 \int (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) (4 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) + 5) \frac{u}{2} d u$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \int (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) (4 \frac{u}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) + 5) \frac{u}{2} d u$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 \int (\frac{u}{2} (4 \frac{u}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) + 5) - \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) + 5)) \frac{u}{2} d u$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 \int (\frac{u}{2} (4 \frac{u}{2} + 4 (- \frac{1}{2})) + \frac{u}{2} \cdot 5 - \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) + 5)) \frac{u}{2} d u$

Étape 4.4

Appliquez la propriété distributive.

$2 \int (\frac{u}{2} (4 \frac{u}{2}) + \frac{u}{2} (4 (- \frac{1}{2})) + \frac{u}{2} \cdot 5 - \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) + 5)) \frac{u}{2} d u$

Étape 4.5

Appliquez la propriété distributive.

$2 \int (\frac{u}{2} (4 \frac{u}{2}) + \frac{u}{2} (4 (- \frac{1}{2})) + \frac{u}{2} \cdot 5 - \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2} + 4 (- \frac{1}{2})) - \frac{1}{2} \cdot 5) \frac{u}{2} d u$

Étape 4.6

Appliquez la propriété distributive.

$2 \int (\frac{u}{2} (4 \frac{u}{2}) + \frac{u}{2} (4 (- \frac{1}{2})) + \frac{u}{2} \cdot 5 - \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2}) - \frac{1}{2} (4 (- \frac{1}{2})) - \frac{1}{2} \cdot 5) \frac{u}{2} d u$

Étape 4.7

Appliquez la propriété distributive.

$2 \int (\frac{u}{2} (4 \frac{u}{2}) + \frac{u}{2} (4 (- \frac{1}{2})) + \frac{u}{2} \cdot 5) \frac{u}{2} + (- \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2}) - \frac{1}{2} (4 (- \frac{1}{2})) - \frac{1}{2} \cdot 5) \frac{u}{2} d u$

Étape 4.8

Appliquez la propriété distributive.

$2 \int (\frac{u}{2} (4 \frac{u}{2}) + \frac{u}{2} (4 (- \frac{1}{2}))) \frac{u}{2} + \frac{u}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} + (- \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2}) - \frac{1}{2} (4 (- \frac{1}{2})) - \frac{1}{2} \cdot 5) \frac{u}{2} d u$

Étape 4.9

Appliquez la propriété distributive.

$2 \int \frac{u}{2} (4 \frac{u}{2}) \frac{u}{2} + \frac{u}{2} (4 (- \frac{1}{2})) \frac{u}{2} + \frac{u}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} + (- \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2}) - \frac{1}{2} (4 (- \frac{1}{2})) - \frac{1}{2} \cdot 5) \frac{u}{2} d u$

Étape 4.10

Appliquez la propriété distributive.

$2 \int \frac{u}{2} (4 \frac{u}{2}) \frac{u}{2} + \frac{u}{2} (4 (- \frac{1}{2})) \frac{u}{2} + \frac{u}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} + (- \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2}) - \frac{1}{2} (4 (- \frac{1}{2}))) \frac{u}{2} - \frac{1}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} d u$

Étape 4.11

Appliquez la propriété distributive.

$2 \int \frac{u}{2} (4 \frac{u}{2}) \frac{u}{2} + \frac{u}{2} (4 (- \frac{1}{2})) \frac{u}{2} + \frac{u}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} - \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2}) \frac{u}{2} - \frac{1}{2} (4 (- \frac{1}{2})) \frac{u}{2} - \frac{1}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} d u$

Étape 4.12

Remettez dans l’ordre $\frac{u}{2}$ et $4$ .

$2 \int 4 \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} + \frac{u}{2} (4 (- \frac{1}{2})) \frac{u}{2} + \frac{u}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} - \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2}) \frac{u}{2} - \frac{1}{2} (4 (- \frac{1}{2})) \frac{u}{2} - \frac{1}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} d u$

Étape 4.13

Déplacez les parenthèses.

$2 \int 4 \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} + \frac{u}{2} (4 \cdot - 1) \frac{1}{2} \frac{u}{2} + \frac{u}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} - \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2}) \frac{u}{2} - \frac{1}{2} (4 (- \frac{1}{2})) \frac{u}{2} - \frac{1}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} d u$

Étape 4.14

Déplacez $\frac{u}{2}$ .

$2 \int 4 \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + \frac{u}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} - \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2}) \frac{u}{2} - \frac{1}{2} (4 (- \frac{1}{2})) \frac{u}{2} - \frac{1}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} d u$

Étape 4.15

Remettez dans l’ordre $\frac{u}{2}$ et $5$ .

$2 \int 4 \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} - \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2}) \frac{u}{2} - \frac{1}{2} (4 (- \frac{1}{2})) \frac{u}{2} - \frac{1}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} d u$

Étape 4.16

Déplacez $\frac{1}{2}$ .

$2 \int 4 \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - \frac{1}{2} (4 (- \frac{1}{2})) \frac{u}{2} - \frac{1}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} d u$

Étape 4.17

Déplacez les parenthèses.

$2 \int 4 \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - \frac{1}{2} (4 \cdot - 1) \frac{1}{2} \frac{u}{2} - \frac{1}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} d u$

Étape 4.18

Déplacez $\frac{1}{2}$ .

$2 \int 4 \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - \frac{1}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} d u$

Étape 4.19

Déplacez $\frac{1}{2}$ .

$2 \int 4 \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.20

Associez $4$ et $\frac{u}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u}{2} \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.21

Multipliez $\frac{4 u}{2}$ par $\frac{u}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u \cdot u}{2 \cdot 2} \cdot \frac{u}{2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.22

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$2 \int \frac{4 (u^{1} u)}{2 \cdot 2} \cdot \frac{u}{2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.23

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$2 \int \frac{4 (u^{1} u^{1})}{2 \cdot 2} \cdot \frac{u}{2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.24

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \int \frac{4 u^{1 + 1}}{2 \cdot 2} \cdot \frac{u}{2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.25

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \int \frac{4 u^{2}}{2 \cdot 2} \cdot \frac{u}{2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.26

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 \int \frac{4 u^{2}}{4} \cdot \frac{u}{2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.27

Multipliez $\frac{4 u^{2}}{4}$ par $\frac{u}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{2} u}{4 \cdot 2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.28

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$2 \int \frac{4 (u^{2} u^{1})}{4 \cdot 2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.29

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \int \frac{4 u^{2 + 1}}{4 \cdot 2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.30

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{4 \cdot 2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.31

Multipliez $4$ par $2$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.32

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} - 4 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.33

Associez $- 4$ et $\frac{u}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.34

Multipliez $\frac{- 4 u}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u}{2 \cdot 2} \cdot \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.35

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u}{4} \cdot \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.36

Multipliez $\frac{- 4 u}{4}$ par $\frac{u}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u \cdot u}{4 \cdot 2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.37

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 (u^{1} u)}{4 \cdot 2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.38

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 (u^{1} u^{1})}{4 \cdot 2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.39

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{1 + 1}}{4 \cdot 2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.40

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{4 \cdot 2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.41

Multipliez $4$ par $2$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.42

Associez $5$ et $\frac{u}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{5 u}{2} \cdot \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.43

Multipliez $\frac{5 u}{2}$ par $\frac{u}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{5 u \cdot u}{2 \cdot 2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.44

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{5 (u^{1} u)}{2 \cdot 2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.45

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{5 (u^{1} u^{1})}{2 \cdot 2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.46

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{5 u^{1 + 1}}{2 \cdot 2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.47

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{5 u^{2}}{2 \cdot 2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.48

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{5 u^{2}}{4} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.49

Pour écrire $\frac{5 u^{2}}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{5 u^{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.50

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.50.1

Multipliez $\frac{5 u^{2}}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{5 u^{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.50.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{5 u^{2} \cdot 2}{8} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{5 u^{2} \cdot 2}{8} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.51

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.52

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.53

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} - 4 (\frac{1}{2}) \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.54

Associez $- 4$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4}{2} \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.55

Multipliez $\frac{- 4}{2}$ par $\frac{u}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u}{2 \cdot 2} \cdot \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.56

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u}{4} \cdot \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.57

Multipliez $\frac{- 4 u}{4}$ par $\frac{u}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u \cdot u}{4 \cdot 2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.58

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 (u^{1} u)}{4 \cdot 2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.59

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 (u^{1} u^{1})}{4 \cdot 2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.60

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{1 + 1}}{4 \cdot 2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.61

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{4 \cdot 2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.62

Multipliez $4$ par $2$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.63

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} - 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.64

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + 4 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.65

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.66

Multipliez $\frac{4}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4}{2 \cdot 2} \cdot \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.67

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4}{4} \cdot \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.68

Multipliez $\frac{4}{4}$ par $\frac{u}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4 u}{4 \cdot 2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.69

Multipliez $4$ par $2$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4 u}{8} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Étape 4.70

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4 u}{8} - 5 (\frac{1}{2}) \frac{u}{2} d u$

Étape 4.71

Associez $- 5$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4 u}{8} + \frac{- 5}{2} \cdot \frac{u}{2} d u$

Étape 4.72

Multipliez $\frac{- 5}{2}$ par $\frac{u}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4 u}{8} + \frac{- 5 u}{2 \cdot 2} d u$

Étape 4.73

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4 u}{8} + \frac{- 5 u}{4} d u$

Étape 4.74

Pour écrire $\frac{- 5 u}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4 u}{8} + \frac{- 5 u}{4} \cdot \frac{2}{2} d u$

Étape 4.75

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.75.1

Multipliez $\frac{- 5 u}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4 u}{8} + \frac{- 5 u \cdot 2}{4 \cdot 2} d u$

Étape 4.75.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4 u}{8} + \frac{- 5 u \cdot 2}{8} d u$

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4 u}{8} + \frac{- 5 u \cdot 2}{8} d u$

Étape 4.76

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4 u - 5 u \cdot 2}{8} d u$

Étape 4.77

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2} + 4 u - 5 u \cdot 2}{8} d u$

Étape 4.78

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2 - 4 u^{2} + 4 u - 5 u \cdot 2}{8} d u$

Étape 4.79

Remettez dans l’ordre $4 u$ et $- 5 u \cdot 2$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2 - 4 u^{2} - 5 u \cdot 2 + 4 u}{8} d u$

Étape 4.80

Déplacez $5 u^{2} \cdot 2$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2 - 5 u \cdot 2 + 4 u}{8} d u$

Étape 4.81

Soustrayez $4 u^{2}$ de $- 4 u^{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 8 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2 - 5 u \cdot 2 + 4 u}{8} d u$

$2 \int \frac{4 u^{3} - 8 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2 - 5 u \cdot 2 + 4 u}{8} d u$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 8 u^{2} + 10 u^{2} - 5 u \cdot 2 + 4 u}{8} d u$

Étape 5.2

Additionnez $- 8 u^{2}$ et $10 u^{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} + 2 u^{2} - 5 u \cdot 2 + 4 u}{8} d u$

Étape 5.3

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} + 2 u^{2} - 10 u + 4 u}{8} d u$

Étape 5.4

Additionnez $- 10 u$ et $4 u$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} + 2 u^{2} - 6 u}{8} d u$

$2 \int \frac{4 u^{3} + 2 u^{2} - 6 u}{8} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{8} \int 4 u^{3} + 2 u^{2} - 6 u d u)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{8}$ et $2$ .

$\frac{2}{8} \int 4 u^{3} + 2 u^{2} - 6 u d u$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $8$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{8} \int 4 u^{3} + 2 u^{2} - 6 u d u$

Étape 7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} \int 4 u^{3} + 2 u^{2} - 6 u d u$

Étape 7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} \int 4 u^{3} + 2 u^{2} - 6 u d u$

Étape 7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} \int 4 u^{3} + 2 u^{2} - 6 u d u$

$\frac{1}{4} \int 4 u^{3} + 2 u^{2} - 6 u d u$

$\frac{1}{4} \int 4 u^{3} + 2 u^{2} - 6 u d u$

$\frac{1}{4} \int 4 u^{3} + 2 u^{2} - 6 u d u$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{4} (\int 4 u^{3} d u + \int 2 u^{2} d u + \int - 6 u d u)$

Étape 9

Comme $4$ est constant par rapport à $u$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (4 \int u^{3} d u + \int 2 u^{2} d u + \int - 6 u d u)$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int 2 u^{2} d u + \int - 6 u d u)$

Étape 11

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (4 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 2 \int u^{2} d u + \int - 6 u d u)$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int - 6 u d u)$

Étape 13

Comme $- 6$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 6$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (4 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) - 6 \int u d u)$

Étape 14

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) - 6 (\frac{1}{2} u^{2} + C))$

Étape 15

Simplifiez

$\frac{1}{4} (u^{4} + \frac{2 u^{3}}{3} - 3 u^{2}) + C$

Étape 16

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + 1$ .

$\frac{1}{4} ({(2 x + 1)}^{4} + \frac{2 {(2 x + 1)}^{3}}{3} - 3 {(2 x + 1)}^{2}) + C$

Étape 17

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{4} ({(2 x + 1)}^{4} + \frac{2}{3} {(2 x + 1)}^{3} - 3 {(2 x + 1)}^{2}) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$