Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{4 x^{2} + 9} d x$

Étape 1

Écrivez l’intégrale comme une limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 x^{2} + 9} d x$

Étape 2

Remettez dans l’ordre $4 x^{2}$ et $9$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{9 + 4 x^{2}} d x$

Étape 3

Factorisez $4$ à partir de $9 + 4 x^{2}$ .

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Étape 3.1

Factorisez $4$ à partir de $9$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 x^{2}} d x$

Étape 3.2

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 (x^{2})} d x$

Étape 3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (\frac{9}{4}) + 4 (x^{2})$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4} + x^{2})} d x$

Étape 4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \int_{0}^{t} \frac{1}{\frac{9}{4} + x^{2}} d x$

Étape 5

Réécrivez $\frac{9}{4}$ comme ${(\frac{3}{2})}^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \int_{0}^{t} \frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + x^{2}} d x$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Simplifiez

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Étape 7.1.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{3}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} 1 (\frac{2}{3}) \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$

Étape 7.1.2

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$

Étape 7.1.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{3}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (x \frac{2}{3})]_{0}^{t}$

Étape 7.1.4

Associez $x$ et $\frac{2}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (\frac{x \cdot 2}{3})]_{0}^{t}$

Étape 7.1.5

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (\frac{2 \cdot x}{3})]_{0}^{t}$

Étape 7.1.6

Associez $\frac{2}{3}$ et $\arctan (\frac{2 x}{3})$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}]_{0}^{t}$

Étape 7.1.7

Associez $\frac{1}{4}$ et $\frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}]_{0}^{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}]_{0}^{t}}{4}$

Étape 7.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Évaluez $\frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}$ sur $t$ et sur $0$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{(\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3}) - \frac{2 \arctan (\frac{2 \cdot 0}{3})}{3}}{4}$

Étape 7.2.2

Simplifiez

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Étape 7.2.2.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{0}{3})}{3}}{4}$

Étape 7.2.2.2

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 7.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{3 (0)}{3})}{3}}{4}$

Étape 7.2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{3}}{4}$

Étape 7.2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{3}}{4}$

Étape 7.2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{0}{1})}{3}}{4}$

Étape 7.2.2.2.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3}}{4}$

Étape 7.2.2.3

Multipliez $\frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3}}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3}}{4}$

Étape 7.2.2.4

Associez.

$lim_{t \to \infty} \frac{3 (\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

Étape 7.2.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{t \to \infty} \frac{3 \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} + 3 (- \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

Étape 7.2.2.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.2.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{t \to \infty} \frac{3 \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} + 3 (- \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

Étape 7.2.2.6.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + 3 (- \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

Étape 7.2.2.7

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 3 \frac{2 \arctan (0)}{3}}{3 \cdot 4}$

Étape 7.2.2.8

Associez $- 3$ et $\frac{2 \arctan (0)}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{- 3 (2 \arctan (0))}{3}}{3 \cdot 4}$

Étape 7.2.2.9

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{- 6 \arctan (0)}{3}}{3 \cdot 4}$

Étape 7.2.2.10

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $3$ .

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Étape 7.2.2.10.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6 \arctan (0)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{3 (- 2 \arctan (0))}{3}}{3 \cdot 4}$

Étape 7.2.2.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.2.10.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{3 (- 2 \arctan (0))}{3 (1)}}{3 \cdot 4}$

Étape 7.2.2.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{3 (- 2 \arctan (0))}{3 \cdot 1}}{3 \cdot 4}$

Étape 7.2.2.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{- 2 \arctan (0)}{1}}{3 \cdot 4}$

Étape 7.2.2.10.2.4

Divisez $- 2 \arctan (0)$ par $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 2 \arctan (0)}{3 \cdot 4}$

Étape 7.2.2.11

Multipliez $3$ par $4$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 2 \arctan (0)}{12}$

Étape 7.2.2.12

Annulez le facteur commun à $2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 2 \arctan (0)$ et $12$ .

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Étape 7.2.2.12.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \arctan (\frac{2 t}{3})$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3})) - 2 \arctan (0)}{12}$

Étape 7.2.2.12.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \arctan (0)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3})) + 2 (- \arctan (0))}{12}$

Étape 7.2.2.12.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (\arctan (\frac{2 t}{3})) + 2 (- \arctan (0))$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0))}{12}$

Étape 7.2.2.12.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.2.12.4.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0))}{2 (6)}$

Étape 7.2.2.12.4.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0))}{2 \cdot 6}$

Étape 7.2.2.12.4.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{t \to \infty} \frac{\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0)}{6}$

Étape 8

Évaluez la limite.

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Étape 8.1

Placez le terme $\frac{1}{6}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$\frac{1}{6} lim_{t \to \infty} \arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0)$

Étape 8.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{6} (lim_{t \to \infty} \arctan (\frac{2 t}{3}) - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

Étape 8.3

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{1}{6} (\infty - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

Étape 8.4

Remplacez $\frac{2 t}{3}$ par $t$ et laissez $t$ approcher de $\infty$ car $lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{3} = \infty$ .

$\frac{1}{6} (lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

Étape 8.5

La limite lorsque $t$ approche de $\infty$ est $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

Étape 8.6

Évaluez la limite de $\arctan (0)$ qui est constante lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} - \arctan (0))$

Étape 8.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.7.1.1

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} - 0)$

Étape 8.7.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} + 0)$

Étape 8.7.2

Additionnez $\frac{π}{2}$ et $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 8.7.3

Multipliez $\frac{1}{6} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Étape 8.7.3.1

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{6 \cdot 2}$

Étape 8.7.3.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{π}{12}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{π}{12}$

Forme décimale :

$0.26179938 \dots$