Calcul infinitésimal Exemples

$5 x (\sqrt{x} - x^{2})$

Étape 1

Écrivez $5 x (\sqrt{x} - x^{2})$ comme une fonction.

$f (x) = 5 x (\sqrt{x} - x^{2})$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 5 x (\sqrt{x} - x^{2}) d x$

Étape 4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int x (\sqrt{x} - x^{2}) d x$

Étape 5

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \int x (x^{\frac{1}{2}} - x^{2}) d x$

Étape 6

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 \int x \cdot x^{\frac{1}{2}} + x (- x^{2}) d x$

Étape 6.2

Remettez dans l’ordre $x$ et $- 1$ .

$5 \int x \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot x \cdot x^{2} d x$

Étape 6.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$5 \int x^{1} x^{\frac{1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

Étape 6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 \int x^{1 + \frac{1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

Étape 6.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$5 \int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

Étape 6.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 \int x^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

Étape 6.7

Additionnez $2$ et $1$ .

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

Étape 6.8

Factorisez le signe négatif.

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - (x \cdot x^{2}) d x$

Étape 6.9

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - (x^{1} x^{2}) d x$

Étape 6.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - x^{1 + 2} d x$

Étape 6.11

Additionnez $1$ et $2$ .

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - x^{3} d x$

Étape 6.12

Remettez dans l’ordre $x^{\frac{3}{2}}$ et $- x^{3}$ .

$5 \int - x^{3} + x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$5 (\int - x^{3} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$5 (- \int x^{3} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$5 (- (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (- (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Étape 11

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Étape 11.1

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Étape 11.1.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$5 (- (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Étape 11.1.2

Associez $\frac{2}{5}$ et $x^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (- (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$

Étape 11.2

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$5 (- \frac{1}{4} x^{4} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 5 x (\sqrt{x} - x^{2})$ .

$F (x) =$ $5 (- \frac{1}{4} x^{4} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$