Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 2 x^{2} + x + 4$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 4 x^{3} + 2 x^{2} + x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.4

Différenciez.

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Étape 1.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.4.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 1 + 0$

Étape 1.4.3

Additionnez $4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 1$ et $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.4.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 4 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.5.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 4 + 0$

Étape 2.5.2

Additionnez $12 x^{2} - 24 x + 4$ et $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 4$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.4

Différenciez.

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Étape 4.1.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.4.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 1 + 0$

Étape 4.1.4.3

Additionnez $4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 1$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 1$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 1$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 1$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Étape 5.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx - 0.16443609, 0.59072097, 2.57371511$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - 0.16443609, 0.59072097, 2.57371511$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 0.16443609$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(- 0.16443609)}^{2} - 24 \cdot - 0.16443609 + 4$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Élevez $- 0.16443609$ à la puissance $2$ .

$12 \cdot 0.02703922 - 24 \cdot - 0.16443609 + 4$

Étape 9.1.2

Multipliez $12$ par $0.02703922$ .

$0.32447073 - 24 \cdot - 0.16443609 + 4$

Étape 9.1.3

Multipliez $- 24$ par $- 0.16443609$ .

$0.32447073 + 3.94646618 + 4$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 9.2.1

Additionnez $0.32447073$ et $3.94646618$ .

$4.27093691 + 4$

Étape 9.2.2

Additionnez $4.27093691$ et $4$ .

$8.27093691$

Étape 10

$x = - 0.16443609$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 0.16443609$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - 0.16443609$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.16443609$ dans l’expression.

$f (- 0.16443609) = {(- 0.16443609)}^{4} - 4 {(- 0.16443609)}^{3} + 2 {(- 0.16443609)}^{2} - 0.16443609 + 4$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (- 0.16443609) = {(- 0.16443609)}^{4} - 4 {(- 0.16443609)}^{3} + 2 {(- 0.16443609)}^{2} - 0.16443609 + 4$

Étape 11.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.2.1

Élevez $- 0.16443609$ à la puissance $4$ .

$f (- 0.16443609) = 0.00073111 - 4 {(- 0.16443609)}^{3} + 2 {(- 0.16443609)}^{2} - 0.16443609 + 4$

Étape 11.2.2.2

Élevez $- 0.16443609$ à la puissance $3$ .

$f (- 0.16443609) = 0.00073111 - 4 \cdot - 0.00444622 + 2 {(- 0.16443609)}^{2} - 0.16443609 + 4$

Étape 11.2.2.3

Multipliez $- 4$ par $- 0.00444622$ .

$f (- 0.16443609) = 0.00073111 + 0.01778489 + 2 {(- 0.16443609)}^{2} - 0.16443609 + 4$

Étape 11.2.2.4

Élevez $- 0.16443609$ à la puissance $2$ .

$f (- 0.16443609) = 0.00073111 + 0.01778489 + 2 \cdot 0.02703922 - 0.16443609 + 4$

Étape 11.2.2.5

Multipliez $2$ par $0.02703922$ .

$f (- 0.16443609) = 0.00073111 + 0.01778489 + 0.05407845 - 0.16443609 + 4$

Étape 11.2.3

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 11.2.3.1

Additionnez $0.00073111$ et $0.01778489$ .

$f (- 0.16443609) = 0.01851601 + 0.05407845 - 0.16443609 + 4$

Étape 11.2.3.2

Additionnez $0.01851601$ et $0.05407845$ .

$f (- 0.16443609) = 0.07259447 - 0.16443609 + 4$

Étape 11.2.3.3

Soustrayez $0.16443609$ de $0.07259447$ .

$f (- 0.16443609) = - 0.09184161 + 4$

Étape 11.2.3.4

Additionnez $- 0.09184161$ et $4$ .

$f (- 0.16443609) = 3.90815838$

Étape 11.2.4

La réponse finale est $3.90815838$ .

$y = 3.90815838$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0.59072097$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(0.59072097)}^{2} - 24 \cdot 0.59072097 + 4$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Élevez $0.59072097$ à la puissance $2$ .

$12 \cdot 0.34895126 - 24 \cdot 0.59072097 + 4$

Étape 13.1.2

Multipliez $12$ par $0.34895126$ .

$4.18741523 - 24 \cdot 0.59072097 + 4$

Étape 13.1.3

Multipliez $- 24$ par $0.59072097$ .

$4.18741523 - 14.17730338 + 4$

Étape 13.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 13.2.1

Soustrayez $14.17730338$ de $4.18741523$ .

$- 9.98988814 + 4$

Étape 13.2.2

Additionnez $- 9.98988814$ et $4$ .

$- 5.98988814$

Étape 14

$x = 0.59072097$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0.59072097$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = 0.59072097$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $0.59072097$ dans l’expression.

$f (0.59072097) = {(0.59072097)}^{4} - 4 {(0.59072097)}^{3} + 2 {(0.59072097)}^{2} + 0.59072097 + 4$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (0.59072097) = {(0.59072097)}^{4} - 4 {(0.59072097)}^{3} + 2 {(0.59072097)}^{2} + 0.59072097 + 4$

Étape 15.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.2.1

Élevez $0.59072097$ à la puissance $4$ .

$f (0.59072097) = 0.12176698 - 4 {(0.59072097)}^{3} + 2 {(0.59072097)}^{2} + 0.59072097 + 4$

Étape 15.2.2.2

Élevez $0.59072097$ à la puissance $3$ .

$f (0.59072097) = 0.12176698 - 4 \cdot 0.20613283 + 2 {(0.59072097)}^{2} + 0.59072097 + 4$

Étape 15.2.2.3

Multipliez $- 4$ par $0.20613283$ .

$f (0.59072097) = 0.12176698 - 0.82453133 + 2 {(0.59072097)}^{2} + 0.59072097 + 4$

Étape 15.2.2.4

Élevez $0.59072097$ à la puissance $2$ .

$f (0.59072097) = 0.12176698 - 0.82453133 + 2 \cdot 0.34895126 + 0.59072097 + 4$

Étape 15.2.2.5

Multipliez $2$ par $0.34895126$ .

$f (0.59072097) = 0.12176698 - 0.82453133 + 0.69790253 + 0.59072097 + 4$

Étape 15.2.3

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 15.2.3.1

Soustrayez $0.82453133$ de $0.12176698$ .

$f (0.59072097) = - 0.70276434 + 0.69790253 + 0.59072097 + 4$

Étape 15.2.3.2

Additionnez $- 0.70276434$ et $0.69790253$ .

$f (0.59072097) = - 0.0048618 + 0.59072097 + 4$

Étape 15.2.3.3

Additionnez $- 0.0048618$ et $0.59072097$ .

$f (0.59072097) = 0.58585916 + 4$

Étape 15.2.3.4

Additionnez $0.58585916$ et $4$ .

$f (0.59072097) = 4.58585916$

Étape 15.2.4

La réponse finale est $4.58585916$ .

$y = 4.58585916$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2.57371511$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(2.57371511)}^{2} - 24 \cdot 2.57371511 + 4$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.1

Élevez $2.57371511$ à la puissance $2$ .

$12 \cdot 6.6240095 - 24 \cdot 2.57371511 + 4$

Étape 17.1.2

Multipliez $12$ par $6.6240095$ .

$79.48811403 - 24 \cdot 2.57371511 + 4$

Étape 17.1.3

Multipliez $- 24$ par $2.57371511$ .

$79.48811403 - 61.7691628 + 4$

Étape 17.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 17.2.1

Soustrayez $61.7691628$ de $79.48811403$ .

$17.71895122 + 4$

Étape 17.2.2

Additionnez $17.71895122$ et $4$ .

$21.71895122$

Étape 18

$x = 2.57371511$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 2.57371511$ est un minimum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = 2.57371511$ .

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Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $2.57371511$ dans l’expression.

$f (2.57371511) = {(2.57371511)}^{4} - 4 {(2.57371511)}^{3} + 2 {(2.57371511)}^{2} + 2.57371511 + 4$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (2.57371511) = {(2.57371511)}^{4} - 4 {(2.57371511)}^{3} + 2 {(2.57371511)}^{2} + 2.57371511 + 4$

Étape 19.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.2.1

Élevez $2.57371511$ à la puissance $4$ .

$f (2.57371511) = 43.87750189 - 4 {(2.57371511)}^{3} + 2 {(2.57371511)}^{2} + 2.57371511 + 4$

Étape 19.2.2.2

Élevez $2.57371511$ à la puissance $3$ .

$f (2.57371511) = 43.87750189 - 4 \cdot 17.04831339 + 2 {(2.57371511)}^{2} + 2.57371511 + 4$

Étape 19.2.2.3

Multipliez $- 4$ par $17.04831339$ .

$f (2.57371511) = 43.87750189 - 68.19325356 + 2 {(2.57371511)}^{2} + 2.57371511 + 4$

Étape 19.2.2.4

Élevez $2.57371511$ à la puissance $2$ .

$f (2.57371511) = 43.87750189 - 68.19325356 + 2 \cdot 6.6240095 + 2.57371511 + 4$

Étape 19.2.2.5

Multipliez $2$ par $6.6240095$ .

$f (2.57371511) = 43.87750189 - 68.19325356 + 13.248019 + 2.57371511 + 4$

Étape 19.2.3

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 19.2.3.1

Soustrayez $68.19325356$ de $43.87750189$ .

$f (2.57371511) = - 24.31575167 + 13.248019 + 2.57371511 + 4$

Étape 19.2.3.2

Additionnez $- 24.31575167$ et $13.248019$ .

$f (2.57371511) = - 11.06773266 + 2.57371511 + 4$

Étape 19.2.3.3

Additionnez $- 11.06773266$ et $2.57371511$ .

$f (2.57371511) = - 8.49401755 + 4$

Étape 19.2.3.4

Additionnez $- 8.49401755$ et $4$ .

$f (2.57371511) = - 4.49401755$

Étape 19.2.4

La réponse finale est $- 4.49401755$ .

$y = - 4.49401755$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 2 x^{2} + x + 4$ .

$(- 0.16443609, 3.90815838)$ est un minimum local

$(0.59072097, 4.58585916)$ est un maximum local

$(2.57371511, - 4.49401755)$ est un minimum local

Étape 21