Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 2} \frac{\ln (3 x + 7) - 2 x^{3}}{3 \tan (- 4 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} \ln (3 x + 7) - 2 x^{3}}{lim_{x \to - 2} 3 \tan (- 4 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} \ln (3 x + 7) - lim_{x \to - 2} 2 x^{3}}{lim_{x \to - 2} 3 \tan (- 4 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Étape 3

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{\ln (lim_{x \to - 2} 3 x + 7) - lim_{x \to - 2} 2 x^{3}}{lim_{x \to - 2} 3 \tan (- 4 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to - 2} 3 x + lim_{x \to - 2} 7) - lim_{x \to - 2} 2 x^{3}}{lim_{x \to - 2} 3 \tan (- 4 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Étape 5

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\ln (3 lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 7) - lim_{x \to - 2} 2 x^{3}}{lim_{x \to - 2} 3 \tan (- 4 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Étape 6

Évaluez la limite de $7$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{\ln (3 lim_{x \to - 2} x + 7) - lim_{x \to - 2} 2 x^{3}}{lim_{x \to - 2} 3 \tan (- 4 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Étape 7

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\ln (3 lim_{x \to - 2} x + 7) - 2 lim_{x \to - 2} x^{3}}{lim_{x \to - 2} 3 \tan (- 4 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Étape 8

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\ln (3 lim_{x \to - 2} x + 7) - 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}{lim_{x \to - 2} 3 \tan (- 4 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Étape 9

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{\ln (3 lim_{x \to - 2} x + 7) - 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}{lim_{x \to - 2} 3 \tan (- 4 - 2 x) - lim_{x \to - 2} 3 x^{3}}$

Étape 10

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\ln (3 lim_{x \to - 2} x + 7) - 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}{3 lim_{x \to - 2} \tan (- 4 - 2 x) - lim_{x \to - 2} 3 x^{3}}$

Étape 11

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{\ln (3 lim_{x \to - 2} x + 7) - 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}{3 \tan (lim_{x \to - 2} - 4 - 2 x) - lim_{x \to - 2} 3 x^{3}}$

Étape 12

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{\ln (3 lim_{x \to - 2} x + 7) - 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}{3 \tan (- lim_{x \to - 2} 4 - lim_{x \to - 2} 2 x) - lim_{x \to - 2} 3 x^{3}}$

Étape 13

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{\ln (3 lim_{x \to - 2} x + 7) - 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - lim_{x \to - 2} 2 x) - lim_{x \to - 2} 3 x^{3}}$

Étape 14

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\ln (3 lim_{x \to - 2} x + 7) - 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 2} x) - lim_{x \to - 2} 3 x^{3}}$

Étape 15

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\ln (3 lim_{x \to - 2} x + 7) - 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 2} x) - 3 lim_{x \to - 2} x^{3}}$

Étape 16

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\ln (3 lim_{x \to - 2} x + 7) - 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 2} x) - 3 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}$

Étape 17

Évaluez les limites en insérant $- 2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{\ln (3 \cdot - 2 + 7) - 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 2} x) - 3 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}$

Étape 17.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{\ln (3 \cdot - 2 + 7) - 2 {(- 2)}^{3}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 2} x) - 3 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}$

Étape 17.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{\ln (3 \cdot - 2 + 7) - 2 {(- 2)}^{3}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \cdot - 2) - 3 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}$

Étape 17.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{\ln (3 \cdot - 2 + 7) - 2 {(- 2)}^{3}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \cdot - 2) - 3 {(- 2)}^{3}}$

Étape 18

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.1.1

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{\ln (- 6 + 7) - 2 {(- 2)}^{3}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \cdot - 2) - 3 {(- 2)}^{3}}$

Étape 18.1.2

Additionnez $- 6$ et $7$ .

$\frac{\ln (1) - 2 {(- 2)}^{3}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \cdot - 2) - 3 {(- 2)}^{3}}$

Étape 18.1.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0 - 2 {(- 2)}^{3}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \cdot - 2) - 3 {(- 2)}^{3}}$

Étape 18.1.4

Multipliez $- 2$ par ${(- 2)}^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.1.4.1

Multipliez $- 2$ par ${(- 2)}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.1.4.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $1$ .

$\frac{0 + {(- 2)}^{1} {(- 2)}^{3}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \cdot - 2) - 3 {(- 2)}^{3}}$

Étape 18.1.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{0 + {(- 2)}^{1 + 3}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \cdot - 2) - 3 {(- 2)}^{3}}$

Étape 18.1.4.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{0 + {(- 2)}^{4}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \cdot - 2) - 3 {(- 2)}^{3}}$

Étape 18.1.5

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$\frac{0 + 16}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \cdot - 2) - 3 {(- 2)}^{3}}$

Étape 18.1.6

Additionnez $0$ et $16$ .

$\frac{16}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \cdot - 2) - 3 {(- 2)}^{3}}$

Étape 18.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{16}{3 \tan (- 4 - 1 \cdot 2 \cdot - 2) - 3 {(- 2)}^{3}}$

Étape 18.2.1.2

Multipliez $- 1 \cdot 2 \cdot - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{16}{3 \tan (- 4 - 2 \cdot - 2) - 3 {(- 2)}^{3}}$

Étape 18.2.1.2.2

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{16}{3 \tan (- 4 + 4) - 3 {(- 2)}^{3}}$

Étape 18.2.2

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$\frac{16}{3 \tan (0) - 3 {(- 2)}^{3}}$

Étape 18.2.3

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{16}{3 \cdot 0 - 3 {(- 2)}^{3}}$

Étape 18.2.4

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{16}{0 - 3 {(- 2)}^{3}}$

Étape 18.2.5

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$\frac{16}{0 - 3 \cdot - 8}$

Étape 18.2.6

Multipliez $- 3$ par $- 8$ .

$\frac{16}{0 + 24}$

Étape 18.2.7

Additionnez $0$ et $24$ .

$\frac{16}{24}$

Étape 18.3

Annulez le facteur commun à $16$ et $24$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.3.1

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$\frac{8 (2)}{24}$

Étape 18.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.3.2.1

Factorisez $8$ à partir de $24$ .

$\frac{8 \cdot 2}{8 \cdot 3}$

Étape 18.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 \cdot 2}{8 \cdot 3}$

Étape 18.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{3}$