Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{- 9 x - 3} - \frac{1}{87}}{\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 3} - \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 10$ .

$\frac{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 3} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 10$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to - 10} 1}{lim_{x \to - 10} - 9 x - 3} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Étape 1.1.2.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 10$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to - 10} - 9 x - 3} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Étape 1.1.2.1.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 10$ .

$\frac{\frac{1}{- lim_{x \to - 10} 9 x - lim_{x \to - 10} 3} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Étape 1.1.2.1.5

Placez le terme $9$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\frac{1}{- 9 lim_{x \to - 10} x - lim_{x \to - 10} 3} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Étape 1.1.2.1.6

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 10$ .

$\frac{\frac{1}{- 9 lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 3} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Étape 1.1.2.1.7

Évaluez la limite de $\frac{1}{87}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 10$ .

$\frac{\frac{1}{- 9 lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 3} - \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 10$ pour $x$ .

$\frac{\frac{1}{- 9 \cdot - 10 - 1 \cdot 3} - \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Multipliez $- 9$ par $- 10$ .

$\frac{\frac{1}{90 - 1 \cdot 3} - \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{\frac{1}{90 - 3} - \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Soustrayez $3$ de $90$ .

$\frac{\frac{1}{87} - \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Étape 1.1.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{1 - 1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Étape 1.1.2.3.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{\frac{0}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Étape 1.1.2.3.4

Divisez $0$ par $87$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 10$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{81}}$

Étape 1.1.3.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 10$ .

$\frac{0}{\frac{lim_{x \to - 10} 1}{lim_{x \to - 10} - 9 x - 9} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{81}}$

Étape 1.1.3.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 10$ .

$\frac{0}{\frac{1}{lim_{x \to - 10} - 9 x - 9} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{81}}$

Étape 1.1.3.1.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 10$ .

$\frac{0}{\frac{1}{- lim_{x \to - 10} 9 x - lim_{x \to - 10} 9} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{81}}$

Étape 1.1.3.1.5

Placez le terme $9$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{\frac{1}{- 9 lim_{x \to - 10} x - lim_{x \to - 10} 9} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{81}}$

Étape 1.1.3.1.6

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 10$ .

$\frac{0}{\frac{1}{- 9 lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 9} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{81}}$

Étape 1.1.3.1.7

Évaluez la limite de $\frac{1}{81}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 10$ .

$\frac{0}{\frac{1}{- 9 lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 9} - \frac{1}{81}}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 10$ pour $x$ .

$\frac{0}{\frac{1}{- 9 \cdot - 10 - 1 \cdot 9} - \frac{1}{81}}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Multipliez $- 9$ par $- 10$ .

$\frac{0}{\frac{1}{90 - 1 \cdot 9} - \frac{1}{81}}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{0}{\frac{1}{90 - 9} - \frac{1}{81}}$

Étape 1.1.3.3.1.3

Soustrayez $9$ de $90$ .

$\frac{0}{\frac{1}{81} - \frac{1}{81}}$

Étape 1.1.3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{0}{\frac{1 - 1}{81}}$

Étape 1.1.3.3.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{\frac{0}{81}}$

Étape 1.1.3.3.4

Divisez $0$ par $81$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{- 9 x - 3} - \frac{1}{87}}{\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}} = lim_{x \to - 10} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 3} - \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 3} - \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{- 9 x - 3} - \frac{1}{87}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 3}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Réécrivez $\frac{1}{- 9 x - 3}$ comme ${(- 9 x - 3)}^{- 1}$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{d}{d x} [{(- 9 x - 3)}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = - 9 x - 3$ .

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Étape 1.3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 9 x - 3$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [- 9 x - 3] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Étape 1.3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [- 9 x - 3] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Étape 1.3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 9 x - 3$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{- {(- 9 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [- 9 x - 3] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Étape 1.3.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 9 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{- {(- 9 x - 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Étape 1.3.3.4

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{- {(- 9 x - 3)}^{- 2} (- 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Étape 1.3.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{- {(- 9 x - 3)}^{- 2} (- 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Étape 1.3.3.6

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{- {(- 9 x - 3)}^{- 2} (- 9 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Étape 1.3.3.7

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{- {(- 9 x - 3)}^{- 2} (- 9 + 0) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Étape 1.3.3.8

Additionnez $- 9$ et $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{- {(- 9 x - 3)}^{- 2} \cdot - 9 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Étape 1.3.3.9

Multipliez $- 9$ par $- 1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{9 {(- 9 x - 3)}^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Étape 1.3.4

Comme $- \frac{1}{87}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{87}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{9 {(- 9 x - 3)}^{- 2} + 0}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Étape 1.3.5

Simplifiez

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Étape 1.3.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{9 \frac{1}{{(- 9 x - 3)}^{2}} + 0}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Étape 1.3.5.2

Associez des termes.

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Étape 1.3.5.2.1

Associez $9$ et $\frac{1}{{(- 9 x - 3)}^{2}}$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{9}{{(- 9 x - 3)}^{2}} + 0}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Étape 1.3.5.2.2

Additionnez $\frac{9}{{(- 9 x - 3)}^{2}}$ et $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{9}{{(- 9 x - 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Étape 1.3.5.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.3.5.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 9 x - 3$ .

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Étape 1.3.5.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 9 x$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{9}{{(3 (- 3 x) - 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Étape 1.3.5.3.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{9}{{(3 (- 3 x) + 3 (- 1))}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Étape 1.3.5.3.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (- 3 x) + 3 (- 1)$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{9}{{(3 (- 3 x - 1))}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Étape 1.3.5.3.2

Appliquez la règle de produit à $3 (- 3 x - 1)$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{9}{3^{2} {(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Étape 1.3.5.3.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{9}{9 {(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Étape 1.3.5.4

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 1.3.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{9}{9 {(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Étape 1.3.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Étape 1.3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9}]$ .

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Étape 1.3.7.1

Réécrivez $\frac{1}{- 9 x - 9}$ comme ${(- 9 x - 9)}^{- 1}$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [{(- 9 x - 9)}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Étape 1.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = - 9 x - 9$ .

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Étape 1.3.7.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 9 x - 9$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [- 9 x - 9] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Étape 1.3.7.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [- 9 x - 9] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Étape 1.3.7.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 9 x - 9$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{- {(- 9 x - 9)}^{- 2} \frac{d}{d x} [- 9 x - 9] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Étape 1.3.7.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 9 x - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{- {(- 9 x - 9)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Étape 1.3.7.4

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{- {(- 9 x - 9)}^{- 2} (- 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Étape 1.3.7.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{- {(- 9 x - 9)}^{- 2} (- 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Étape 1.3.7.6

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{- {(- 9 x - 9)}^{- 2} (- 9 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Étape 1.3.7.7

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{- {(- 9 x - 9)}^{- 2} (- 9 + 0) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Étape 1.3.7.8

Additionnez $- 9$ et $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{- {(- 9 x - 9)}^{- 2} \cdot - 9 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Étape 1.3.7.9

Multipliez $- 9$ par $- 1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{9 {(- 9 x - 9)}^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Étape 1.3.8

Comme $- \frac{1}{81}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{81}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{9 {(- 9 x - 9)}^{- 2} + 0}$

Étape 1.3.9

Simplifiez

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Étape 1.3.9.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{9 \frac{1}{{(- 9 x - 9)}^{2}} + 0}$

Étape 1.3.9.2

Associez des termes.

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Étape 1.3.9.2.1

Associez $9$ et $\frac{1}{{(- 9 x - 9)}^{2}}$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{9}{{(- 9 x - 9)}^{2}} + 0}$

Étape 1.3.9.2.2

Additionnez $\frac{9}{{(- 9 x - 9)}^{2}}$ et $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{9}{{(- 9 x - 9)}^{2}}}$

Étape 1.3.9.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.3.9.3.1

Factorisez $9$ à partir de $- 9 x - 9$ .

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Étape 1.3.9.3.1.1

Factorisez $9$ à partir de $- 9 x$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{9}{{(9 (- x) - 9)}^{2}}}$

Étape 1.3.9.3.1.2

Factorisez $9$ à partir de $- 9$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{9}{{(9 (- x) + 9 (- 1))}^{2}}}$

Étape 1.3.9.3.1.3

Factorisez $9$ à partir de $9 (- x) + 9 (- 1)$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{9}{{(9 (- x - 1))}^{2}}}$

Étape 1.3.9.3.2

Appliquez la règle de produit à $9 (- x - 1)$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{9}{9^{2} {(- x - 1)}^{2}}}$

Étape 1.3.9.3.3

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{9}{81 {(- x - 1)}^{2}}}$

Étape 1.3.9.4

Annulez le facteur commun à $9$ et $81$ .

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Étape 1.3.9.4.1

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{9 (1)}{81 {(- x - 1)}^{2}}}$

Étape 1.3.9.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.9.4.2.1

Factorisez $9$ à partir de $81 {(- x - 1)}^{2}$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{9 (1)}{9 (9 {(- x - 1)}^{2})}}$

Étape 1.3.9.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{9 \cdot 1}{9 (9 {(- x - 1)}^{2})}}$

Étape 1.3.9.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{1}{9 {(- x - 1)}^{2}}}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to - 10} \frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}} (9 {(- x - 1)}^{2})$

Étape 1.5

Combinez les facteurs.

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Étape 1.5.1

Associez $9$ et $\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{9}{{(- 3 x - 1)}^{2}} {(- x - 1)}^{2}$

Étape 1.5.2

Associez $\frac{9}{{(- 3 x - 1)}^{2}}$ et ${(- x - 1)}^{2}$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{9 {(- x - 1)}^{2}}{{(- 3 x - 1)}^{2}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $9$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$9 lim_{x \to - 10} \frac{{(- x - 1)}^{2}}{{(- 3 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 10$ .

$9 \frac{lim_{x \to - 10} {(- x - 1)}^{2}}{lim_{x \to - 10} {(- 3 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.3

Déplacez l’exposant $2$ de ${(- x - 1)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$9 \frac{{(lim_{x \to - 10} - x - 1)}^{2}}{lim_{x \to - 10} {(- 3 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 10$ .

$9 \frac{{(- lim_{x \to - 10} x - lim_{x \to - 10} 1)}^{2}}{lim_{x \to - 10} {(- 3 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 10$ .

$9 \frac{{(- lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{lim_{x \to - 10} {(- 3 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.6

Déplacez l’exposant $2$ de ${(- 3 x - 1)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$9 \frac{{(- lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(lim_{x \to - 10} - 3 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 10$ .

$9 \frac{{(- lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(- lim_{x \to - 10} 3 x - lim_{x \to - 10} 1)}^{2}}$

Étape 2.8

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$9 \frac{{(- lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(- 3 lim_{x \to - 10} x - lim_{x \to - 10} 1)}^{2}}$

Étape 2.9

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 10$ .

$9 \frac{{(- lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(- 3 lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $- 10$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 10$ pour $x$ .

$9 \frac{{(10 - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(- 3 lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 10$ pour $x$ .

$9 \frac{{(10 - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(- 3 \cdot - 10 - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$9 \frac{{(10 - 1)}^{2}}{{(- 3 \cdot - 10 - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2

Soustrayez $1$ de $10$ .

$9 \frac{9^{2}}{{(- 3 \cdot - 10 - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$9 \frac{81}{{(- 3 \cdot - 10 - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Multipliez $- 3$ par $- 10$ .

$9 \frac{81}{{(30 - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$9 \frac{81}{{(30 - 1)}^{2}}$

Étape 4.2.3

Soustrayez $1$ de $30$ .

$9 \frac{81}{29^{2}}$

Étape 4.2.4

Élevez $29$ à la puissance $2$ .

$9 (\frac{81}{841})$

Étape 4.3

Multipliez $9 (\frac{81}{841})$ .

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Étape 4.3.1

Associez $9$ et $\frac{81}{841}$ .

$\frac{9 \cdot 81}{841}$

Étape 4.3.2

Multipliez $9$ par $81$ .

$\frac{729}{841}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{729}{841}$

Forme décimale :

$0.86682520 \dots$