Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 1 - \sin (4 x)$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 1 - \sin (4 x) d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d x + \int - \sin (4 x) d x$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$x + C + \int - \sin (4 x) d x$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x + C - \int \sin (4 x) d x$

Étape 6

Laissez $u = 4 x$ . Alors $d u = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.1

Laissez $u = 4 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 6.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Étape 6.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$x + C - \int \sin (u) \frac{1}{4} d u$

Étape 7

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{4}$ .

$x + C - \int \frac{\sin (u)}{4} d u$

Étape 8

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$x + C - (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u)$

Étape 9

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$x + C - \frac{1}{4} (- \cos (u) + C)$

Étape 10

Simplifiez

$x + \frac{\cos (u)}{4} + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x$ .

$x + \frac{\cos (4 x)}{4} + C$

Étape 12

Remettez les termes dans l’ordre.

$x + \frac{1}{4} \cos (4 x) + C$

Étape 13

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 1 - \sin (4 x)$ .

$F (x) =$ $x + \frac{1}{4} \cos (4 x) + C$