Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} \ln (1 - x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (1 - x)$ et $d v = 1$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x (- \frac{1}{1 - x}) d x$

Étape 2

Associez $x$ et $\frac{1}{1 - x}$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{x}{1 - x} d x$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Simplifiez

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Étape 4.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$

Étape 4.1.2

Multipliez $\int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$ par $1$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $1$ et $- x$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{x}{- x + 1} d x$

Étape 5

Divisez $x$ par $- x + 1$ .

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Étape 5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Étape 5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $- x$ .

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Étape 5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				+	$x$	-	$1$

Étape 5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x - 1$

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$

Étape 5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$
						+	$1$

Étape 5.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 1 d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{- x + 1} d x$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{- x + 1} d x$

Étape 8

Laissez $u = - x + 1$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 8.1

Laissez $u = - x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 8.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 8.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 8.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = - x + 1$ .

$u_{lower} = - 0 + 1$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Étape 8.3.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 8.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = - x + 1$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1 + 1$

Étape 8.5

Simplifiez

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Étape 8.5.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$u_{upper} = - 1 + 1$

Étape 8.5.2

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$u_{upper} = 0$

Étape 8.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Étape 8.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} + \int_{1}^{0} \frac{- 1}{u} d u$

Étape 9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} + \int_{1}^{0} - \frac{1}{u} d u$

Étape 10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} \frac{1}{u} d u$

Étape 11

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} - (\ln (| u |)]_{1}^{0})$

Étape 12

Associez $\ln (1 - x) x]_{0}^{1}$ et $- x]_{0}^{1}$ .

$\ln (1 - x) x - x]_{0}^{1} - (\ln (| u |)]_{1}^{0})$

Étape 13

Remplacez et simplifiez.

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Étape 13.1

Évaluez $\ln (1 - x) x - x$ sur $1$ et sur $0$ .

$(\ln (1 - 1 \cdot 1) \cdot 1 - 1 \cdot 1) - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - (\ln (| u |)]_{1}^{0})$

Étape 13.2

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $0$ et sur $1$ .

$(\ln (1 - 1 \cdot 1) \cdot 1 - 1 \cdot 1) - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 13.3

Simplifiez

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Étape 13.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\ln (1 - 1) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 13.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\ln (0) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 13.3.3

Le logarithme naturel de zéro est indéfini.

Indéfini

$\ln (0) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 13.4

Le logarithme naturel de zéro est indéfini.

Indéfini

$\ln (0) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 14

Le logarithme naturel de zéro est indéfini.

Indéfini