Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \arctan (x^{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + x^{4}} (2 x)$

Étape 1.1.2.3

Associez les fractions.

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Étape 1.1.2.3.1

Associez $2$ et $\frac{1}{1 + x^{4}}$ .

$\frac{2}{1 + x^{4}} x$

Étape 1.1.2.3.2

Associez $\frac{2}{1 + x^{4}}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{1 + x^{4}}$

Étape 1.1.2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{4} + 1}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x}{x^{4} + 1}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{4} + 1$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.3

Différenciez.

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Étape 1.2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.3.2

Multipliez $x^{4} + 1$ par $1$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.3.6.1

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.3.6.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - 4 x \cdot x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.4

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.4.1

Déplacez $x^{3}$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x^{1})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \frac{x^{4} + 1 - 4 x^{3 + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.4.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - 4 x^{4}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.5

Soustrayez $4 x^{4}$ de $x^{4}$ .

$2 \frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.6

Associez $2$ et $\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.7

Simplifiez

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Étape 1.2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.7.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.7.2.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{- 6 x^{4} + 2 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.7.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{- 6 x^{4} + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.7.3

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x^{4} + 2$ .

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Étape 1.2.7.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x^{4}$ .

$\frac{2 (- 3 x^{4}) + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.7.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 (1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.7.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 3 x^{4}) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.7.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{4}$ .

$\frac{2 (- (3 x^{4}) + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.7.5

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (3 x^{4}) - 1 (- 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.7.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{4}) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.7.7

Réécrivez $- (3 x^{4} - 1)$ comme $- 1 (3 x^{4} - 1)$ .

$\frac{2 (- 1 (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.7.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 (3 x^{4} - 1) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 (3 x^{4} - 1) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1.1

Divisez chaque terme dans $2 (3 x^{4} - 1) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (3 x^{4} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 x^{4} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.1.2.1.2

Divisez $3 x^{4} - 1$ par $1$ .

$3 x^{4} - 1 = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$3 x^{4} - 1 = 0$

Étape 2.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{4} = 1$

Étape 2.3.3

Divisez chaque terme dans $3 x^{4} = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.3.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{4} = 1$ par $3$ .

$\frac{3 x^{4}}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{4}}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 2.3.3.2.1.2

Divisez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{4} = \frac{1}{3}$

Étape 2.3.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$

Étape 2.3.5

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 2.3.5.1

Réécrivez $\sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ comme $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$

Étape 2.3.5.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$

Étape 2.3.5.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ par $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Étape 2.3.5.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.5.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ par $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{\sqrt[4]{3} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Étape 2.3.5.4.2

Élevez $\sqrt[4]{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Étape 2.3.5.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1 + 3}}$

Étape 2.3.5.4.4

Additionnez $1$ et $3$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{4}}$

Étape 2.3.5.4.5

Réécrivez ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ comme $3$ .

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Étape 2.3.5.4.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{3}$ comme $3^{\frac{1}{4}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Étape 2.3.5.4.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Étape 2.3.5.4.5.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $4$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Étape 2.3.5.4.5.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.5.4.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Étape 2.3.5.4.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{1}}$

Étape 2.3.5.4.5.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3}$

Étape 2.3.5.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.5.5.1

Réécrivez ${\sqrt[4]{3}}^{3}$ comme $\sqrt[4]{3^{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{3^{3}}}{3}$

Étape 2.3.5.5.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Étape 2.3.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Étape 2.3.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Étape 2.3.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ dans $f (x) = \arctan (x^{2})$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan ({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{2})$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{{\sqrt[4]{27}}^{2}}{3^{2}})$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.2.2.1

Réécrivez ${\sqrt[4]{27}}^{2}$ comme $\sqrt{27}$ .

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Étape 3.1.2.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{27}$ comme $27^{\frac{1}{4}}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{2}}{3^{2}})$

Étape 3.1.2.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 2}}{3^{2}})$

Étape 3.1.2.2.1.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $2$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2}{4}}}{3^{2}})$

Étape 3.1.2.2.1.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 3.1.2.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 (1)}{4}}}{3^{2}})$

Étape 3.1.2.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.2.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{3^{2}})$

Étape 3.1.2.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{3^{2}})$

Étape 3.1.2.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{1}{2}}}{3^{2}})$

Étape 3.1.2.2.1.5

Réécrivez $27^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{27}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{27}}{3^{2}})$

Étape 3.1.2.2.2

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.1.2.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{9 (3)}}{3^{2}})$

Étape 3.1.2.2.2.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{2}})$

Étape 3.1.2.2.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3^{2}})$

Étape 3.1.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{9})$

Étape 3.1.2.3.2

Annulez le facteur commun à $3$ et $9$ .

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Étape 3.1.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 (\sqrt{3})}{9})$

Étape 3.1.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.3.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 3})$

Étape 3.1.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 3})$

Étape 3.1.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Étape 3.1.2.4

La valeur exacte de $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ est $\frac{π}{6}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{π}{6}$

Étape 3.1.2.5

La réponse finale est $\frac{π}{6}$ .

$\frac{π}{6}$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ dans $f (x) = \arctan (x^{2})$ est $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$

Étape 3.3

Remplacez $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ dans $f (x) = \arctan (x^{2})$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan ({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{2})$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{2})$

Étape 3.3.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt[4]{27}}^{2}}{3^{2}}))$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (1 (\frac{{\sqrt[4]{27}}^{2}}{3^{2}}))$

Étape 3.3.2.2.2

Multipliez $\frac{{\sqrt[4]{27}}^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{{\sqrt[4]{27}}^{2}}{3^{2}})$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.2.3.1

Réécrivez ${\sqrt[4]{27}}^{2}$ comme $\sqrt{27}$ .

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Étape 3.3.2.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{27}$ comme $27^{\frac{1}{4}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{2}}{3^{2}})$

Étape 3.3.2.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 2}}{3^{2}})$

Étape 3.3.2.3.1.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2}{4}}}{3^{2}})$

Étape 3.3.2.3.1.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 3.3.2.3.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 (1)}{4}}}{3^{2}})$

Étape 3.3.2.3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.3.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{3^{2}})$

Étape 3.3.2.3.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{3^{2}})$

Étape 3.3.2.3.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{1}{2}}}{3^{2}})$

Étape 3.3.2.3.1.5

Réécrivez $27^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{27}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{27}}{3^{2}})$

Étape 3.3.2.3.2

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.3.2.3.2.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{9 (3)}}{3^{2}})$

Étape 3.3.2.3.2.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{2}})$

Étape 3.3.2.3.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3^{2}})$

Étape 3.3.2.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.4.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{9})$

Étape 3.3.2.4.2

Annulez le facteur commun à $3$ et $9$ .

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Étape 3.3.2.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 (\sqrt{3})}{9})$

Étape 3.3.2.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.4.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 3})$

Étape 3.3.2.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 3})$

Étape 3.3.2.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Étape 3.3.2.5

La valeur exacte de $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ est $\frac{π}{6}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{π}{6}$

Étape 3.3.2.6

La réponse finale est $\frac{π}{6}$ .

$\frac{π}{6}$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ dans $f (x) = \arctan (x^{2})$ est $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$

Étape 3.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6}), (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) \cup (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.85983568$ dans l’expression.

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 (3 {(- 0.85983568)}^{4} - 1)}{{({(- 0.85983568)}^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 0.85983568$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 (3 \cdot 0.54659022 - 1)}{{({(- 0.85983568)}^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $3$ par $0.54659022$ .

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 (1.63977068 - 1)}{{({(- 0.85983568)}^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 5.2.1.3

Soustrayez $1$ de $1.63977068$ .

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{({(- 0.85983568)}^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.2.1

Élevez $- 0.85983568$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{(0.54659022 + 1)}^{2}}$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $0.54659022$ et $1$ .

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{1.54659022}^{2}}$

Étape 5.2.2.3

Élevez $1.54659022$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{2.39194133}$

Étape 5.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.3.1

Multipliez $2$ par $0.63977068$ .

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{1.27954136}{2.39194133}$

Étape 5.2.3.2

Divisez $1.27954136$ par $2.39194133$ .

$f'' (- 0.85983568) = - 1 \cdot 0.53493843$

Étape 5.2.3.3

Multipliez $- 1$ par $0.53493843$ .

$f'' (- 0.85983568) = - 0.53493843$

Étape 5.2.4

La réponse finale est $- 0.53493843$ .

$- 0.53493843$

Étape 5.3

Sur $- 0.85983568$ , la dérivée seconde est $- 0.53493843$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$

Diminue sur $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = - \frac{2 (3 {(0)}^{4} - 1)}{{({(0)}^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (3 \cdot 0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 6.2.1.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{{(0 + 1)}^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{1^{2}}$

Étape 6.2.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{1}$

Étape 6.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.3.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (0) = - \frac{- 2}{1}$

Étape 6.2.3.2

Divisez $- 2$ par $1$ .

$f'' (0) = 2$

Étape 6.2.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f'' (0) = 2$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 6.3

Sur $0$ , la dérivée seconde est $2$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ .

Augmente sur $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0.85983568$ dans l’expression.

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 (3 {(0.85983568)}^{4} - 1)}{{({(0.85983568)}^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $0.85983568$ à la puissance $4$ .

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 (3 \cdot 0.54659022 - 1)}{{({0.85983568}^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $3$ par $0.54659022$ .

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 (1.63977068 - 1)}{{({0.85983568}^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 7.2.1.3

Soustrayez $1$ de $1.63977068$ .

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{({0.85983568}^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1

Élevez $0.85983568$ à la puissance $4$ .

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{(0.54659022 + 1)}^{2}}$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $0.54659022$ et $1$ .

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{1.54659022}^{2}}$

Étape 7.2.2.3

Élevez $1.54659022$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{2.39194133}$

Étape 7.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.3.1

Multipliez $2$ par $0.63977068$ .

$f'' (0.85983568) = - \frac{1.27954136}{2.39194133}$

Étape 7.2.3.2

Divisez $1.27954136$ par $2.39194133$ .

$f'' (0.85983568) = - 1 \cdot 0.53493843$

Étape 7.2.3.3

Multipliez $- 1$ par $0.53493843$ .

$f'' (0.85983568) = - 0.53493843$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $- 0.53493843$ .

$- 0.53493843$

Étape 7.3

Sur $0.85983568$ , la dérivée seconde est $- 0.53493843$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$

Diminue sur $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 8

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, les points d’inflexion sont $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6}), (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$ .

$(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6}), (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$

Étape 9