Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{6 x - x^{2}}} d x$

Étape 1

Factorisez $x$ à partir de $6 x - x^{2}$ .

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Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $6 x$ .

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x \cdot 6 - x^{2}}} d x$

Étape 1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x \cdot 6 + x (- x)}} d x$

Étape 1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 6 + x (- x)$ .

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x (6 - x)}} d x$

Étape 2

Complétez le carré.

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Étape 2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot 6 + x (- x)$

Étape 2.1.2

Déplacez $6$ à gauche de $x$ .

$6 \cdot x + x (- x)$

Étape 2.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$6 \cdot x - x \cdot x$

Étape 2.1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.4.1

Déplacez $x$ .

$6 x - (x \cdot x)$

Étape 2.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$6 x - x^{2}$

Étape 2.1.5

Remettez dans l’ordre $6 x$ et $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 6 x$

Étape 2.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 1$

$b = 6$

$c = 0$

Étape 2.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.4.2.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 3$

Étape 2.4.2.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$d = - 3$

Étape 2.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

Étape 2.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e = 0 - \frac{36}{- 4}$

Étape 2.5.2.1.3

Divisez $36$ par $- 4$ .

$e = 0 - - 9$

Étape 2.5.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$e = 0 + 9$

Étape 2.5.2.2

Additionnez $0$ et $9$ .

$e = 9$

Étape 2.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- {(x - 3)}^{2} + 9$ .

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{- {(x - 3)}^{2} + 9}} d x$

Étape 3

Laissez $u = x - 3$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = x - 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 3.1.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 3.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 3.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x - 3$ .

$u_{lower} = 3 - 3$

Étape 3.3

Soustrayez $3$ de $3$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 3.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x - 3$ .

$u_{upper} = 6 - 3$

Étape 3.5

Soustrayez $3$ de $6$ .

$u_{upper} = 3$

Étape 3.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3$

Étape 3.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 9}} d u$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 3^{2}}} d u$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $- u^{2}$ et $3^{2}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

Étape 5

L’intégrale de $\frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}}$ par rapport à $u$ est $\arcsin (\frac{u}{3})$

$\arcsin (\frac{u}{3})]_{0}^{3}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $\arcsin (\frac{u}{3})$ sur $3$ et sur $0$ .

$(\arcsin (\frac{3}{3})) - \arcsin (\frac{0}{3})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\arcsin (\frac{3}{3}) - \arcsin (\frac{0}{3})$

Étape 6.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{0}{3})$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 6.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{3 (0)}{3})$

Étape 6.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Étape 6.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Étape 6.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{0}{1})$

Étape 6.2.2.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\arcsin (1) - \arcsin (0)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

La valeur exacte de $\arcsin (1)$ est $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2} - \arcsin (0)$

Étape 7.1.2

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$\frac{π}{2} - 0$

Étape 7.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{π}{2} + 0$

Étape 7.2

Additionnez $\frac{π}{2}$ et $0$ .

$\frac{π}{2}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{π}{2}$

Forme décimale :

$1.57079632 \dots$

Étape 9