Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1}$

Étape 1

Écrivez $\frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4

Divisez $2 x^{2} + 5$ par $x^{2} + 1$ .

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Étape 4.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{2}$

$0 x$

$5$

Étape 4.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

							$2$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$

Étape 4.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

						$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
					+	$2 x^{2}$	+	$0$	+	$2$

Étape 4.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{2} + 0 + 2$

						$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
					-	$2 x^{2}$	-	$0$	-	$2$

Étape 4.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

						$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
					-	$2 x^{2}$	-	$0$	-	$2$
									+	$3$

Étape 4.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int 2 + \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 d x + \int \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$2 x + C + \int \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Étape 7

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$2 x + C + 3 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Étape 8

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.1

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $1$ .

$2 x + C + 3 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 8.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$2 x + C + 3 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Étape 9

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\arctan (x) + C$ .

$2 x + C + 3 (\arctan (x) + C)$

Étape 10

Simplifiez

$2 x + 3 \arctan (x) + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1}$ .

$F (x) =$ $2 x + 3 \arctan (x) + C$